Exercice 2 - Équation avec logarithme · Bac Mathématiques Métropole 2025 (sujet 1)

Exercice 2

On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\;\ +\infty[$. On admet qu'elle est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0\;\ +\infty[$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

Dans un repère orthogonal, on a tracé ci-dessous:

la courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$, sur l'intervalle $]0\;\ 3]$;

la droite $T_A$, tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A(1\;\ 2)$;

la droite $T_B$, tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $B(\mathrm{e}\;\ \mathrm{e})$.

On précise par ailleurs que la tangente $T_A$ passe par le point $C(3\;\ 0)$.

Partie B: Étude de la fonction f

On admet dans cette partie que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par:

$$f(x) = x(2(\ln x)^2 - 3\ln x + 2)$$

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2X^2 - 3X + 2 = 0$.

En déduire que $C_f$ ne coupe pas l'axe des abscisses.