Exercice B · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2021

Principaux domaines abordés:

Fonction logarithme, limites, dérivation.

Partie I

Le graphique ci-dessous donne la représentation graphique dans un repère orthonormé de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par:

$$f(x) = \frac{2\ln(x) - 1}{x}$$

1.

Déterminer par le calcul l'unique solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0$. On donnera la valeur exacte de $\alpha$ ainsi que la valeur arrondie au centième.

2.

Préciser, par lecture graphique, le signe de $f(x)$ lorsque $x$ varie dans l'intervalle $]0; +\infty[$.

Partie II

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par:

$$g(x) = (\ln(x))^2 - \ln(x)$$

1. a.

Déterminer la limite de la fonction $g$ en $0$.

1. b.

Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.

2.

On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de $]0; +\infty[$, on a: $g'(x) = f(x)$, où $f$ désigne la fonction définie dans la Partie I.

3.

Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$. On fera figurer dans ce tableau les limites de la fonction $g$ en 0 et en $+\infty$, ainsi que la valeur du minimum de $g$ sur $]0; +\infty[$.

4.

Démontrer que, pour tout nombre réel $m > -0{,}25$, l'équation $g(x) = m$ admet exactement deux solutions.

5.

Déterminer par le calcul les deux solutions de l'équation $g(x) = 0$.