Exercice 3 · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2025

Thème : Fonctions exponentielle et logarithme népérien · Tiré du sujet Métropole France 2 remplacement (2025)

Énoncé

Exercice 3 (4 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; 8]$ par $f(x) = \frac{10 \ln(-x^2 + 7x + 9)}{x}$ Soit $C_f$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ .

Partie A

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $-x^2 + 7x + 8 \geq 0$ .

En déduire que pour tout $x \in ]0; 8]$ , on a $f(x) \geq 0$ .

Interpréter graphiquement ce résultat.

Partie B

La courbe $C_f$ est représentée ci-dessous. Soit $M$ le point de $C_f$ d'abscisse $x$ avec $x \in ]0; 8]$ . On appelle $N$ et $P$ les projetés orthogonaux du point $M$ respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées. Dans cette partie, on s'intéresse à l'aire $A(x)$ du rectangle $ONMP$ .

Donner les coordonnées des points $N$ et $P$ en fonction de $x$ .

Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0; 8]$ , $A(x) = 10 \ln(-x^2 + 7x + 9)$

Existe-t-il une position du point $M$ pour laquelle l'aire du rectangle $ONMP$ est maximale ? Si elle existe, déterminer cette position.

Partie C

On considère un réel strictement positif $k$ . On souhaite déterminer la plus petite valeur de $x$ , approchée au dixième, appartenant à $[3{,}5; 8]$ pour laquelle l'aire $A(x)$ devient inférieure ou égale à $k$ . Pour ce faire, on considère l'algorithme ci-dessous. Pour rappel, en langage Python, $\ln(x)$ s'écrit log(x).

from math import *

def A(x):

return 10*log(-1 * x**2 + 7*x + 9)

def pluspetitevaleur(k):

x = 3.5

while A(x)............:

x = x + 0.1

return............ 1.

Recopier et compléter les lignes 8 et 10 de l'algorithme.

Quel nombre renvoie alors l'instruction pluspetitevaleur(30) ?

Que se passe-t-il lorsque $k = 35$ ? Justifier.

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

Partie A - 1. Résoudre dans R l'inéquation -x^2 + 7x + 8 >= 0.

Réponse : [-1 ; 8]

Partie A - 2. En déduire que pour tout x in ]0 ; 8], on a f(x) >= 0.

Réponse : Pour tout $x \in ]0 ; 8]$ , $-x^2 + 7x + 8 \geq 0$ , donc $-x^2 + 7x + 9 \geq 1$ . Par croissance de $\ln$ , $\ln(-x^2 + 7x + 9) \geq \ln(1) = 0$ . Comme $x > 0$ , $f(x) \geq 0$ .

Partie A - 3. Interpréter graphiquement ce résultat.

Réponse : Sur l'intervalle $]0 ; 8]$ , la courbe $C_f$ est située au-dessus (ou sur) l'axe des abscisses.

Partie B - 1. Donner les coordonnées du point N en fonction de x.

Réponse : (x ; 0)

Partie B - 1. Donner les coordonnées du point P en fonction de x.

Réponse : (0 ; f(x))

Partie B - 2. Montrer que pour tout x appartenant à l'intervalle ]0 ; 8], A(x) = 10 ln(-x^2 + 7x + 9).

Réponse : $A(x) = ON \times OP = x \times f(x) = 10\ln(-x^2 + 7x + 9)$ .

Partie B - 3. Existe-t-il une position du point M pour laquelle l'aire du rectangle ONMP est maximale ? (abscisse)

Réponse : 3.5

Partie B - 3. Justification de la position maximale et valeur de l'aire maximale.

Réponse : L'aire est maximale pour $x = 3{,}5$ . L'aire maximale vaut $A(3{,}5) = 10\ln(21{,}25) \approx 30{,}6$ .

Partie C - 1. Ligne 8 de l'algorithme.

Réponse : ```python A(x) > k ```

Partie C - 1. Ligne 10 de l'algorithme.

Réponse : ```python x ```

Partie C - 2. Quel nombre renvoie alors l'instruction pluspetitevaleur(30) ?

Réponse : 4.6

Partie C - 3. Valeur renvoyée lorsque k = 35.

Réponse : 3.5

Partie C - 3. Justification de ce qui se passe lorsque k = 35.

Réponse : L'aire maximale sur $[3{,}5 ; 8]$ vaut environ 30,6, donc $A(x) \leq 30{,}6 < 35$ pour tout $x$ . Dès le début, $A(3{,}5) \leq 35$ , la boucle n'est jamais exécutée et la fonction renvoie directement 3,5.

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