Exercice 1 - Partie B · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2025 (jour 1)

Partie C

Le magasin comporte trois caisses automatiques identiques qui, lors d'une journée, ont chacune déclenché 20 contrôles. On note $X_1$, $X_2$ et $X_3$ les variables aléatoires associant à chacune des caisses le nombre d'erreurs détectées lors de cette journée.

On admet que les variables aléatoires $X_1$, $X_2$ et $X_3$ sont indépendantes entre elles et suivent chacune une loi binomiale $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}165)$.

Partie B

Sur une journée donnée, une caisse automatique déclenche 15 contrôles. La probabilité qu'un contrôle mette en évidence une erreur est $p = 0{,}165$. La détection d'une erreur lors d'un contrôle est indépendante des autres contrôles.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'erreurs détectées lors des contrôles de cette journée.

1.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

$n =$

$p =$

2.

Déterminer la probabilité qu'exactement 5 erreurs soient détectées. On donnera la valeur arrondie au centième.

3.

Déterminer la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée. On donnera la valeur arrondie au centième.

4.

On souhaite modifier le nombre de contrôles déclenchés par la caisse de manière à ce que la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée chaque jour soit supérieure à 99 %.

Déterminer le nombre de contrôles que doit déclencher la caisse chaque jour pour que cette contrainte soit respectée.