Exercice 2 - Partie B - Loi binomiale · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2023 (jour 1)

Exercice 2 (6 points)

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Dans une grande ville française, des trottinettes électriques sont mises à disposition des usagers. Une entreprise, chargée de l'entretien du parc de trottinettes, contrôle leur état chaque lundi.

Partie A

On estime que:

lorsqu'une trottinette est en bon état un lundi, la probabilité qu'elle soit encore en bon état le lundi suivant est 0,9;

lorsqu'une trottinette est en mauvais état un lundi, la probabilité qu'elle soit en bon état le lundi suivant est 0,4.

On s'intéresse à l'état d'une trottinette lors des phases de contrôle.

Soit $n$ un entier naturel. On note $B_n$ l'événement « la trottinette est en bon état $n$ semaines après sa mise en service » et $p_n$ la probabilité de $B_n$.

Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon état. On a donc $p_0 = 1$.

Partie B

Dans cette partie, on modélise la situation de la façon suivante:

l'état d'une trottinette est indépendant de celui des autres;

la probabilité qu'une trottinette soit en bon état est égale à 0,8.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à un lot de 15 trottinettes, associe le nombre de trottinettes en bon état. Le nombre de trottinettes du parc étant très important, le prélèvement de 15 trottinettes peut être assimilé à un tirage avec remise.

1.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

2.

Calculer la probabilité que les 15 trottinettes soient en bon état (arrondie à $10^{-3}$ près).

3.

Calculer la probabilité qu'au moins 10 trottinettes soient en bon état dans un lot de 15 (arrondie à $10^{-3}$ près).

4.

On admet que $E(X) = 12$. Interpréter le résultat.