Exercice 2 · Bac Mathématiques Asie 2025 (jour 2)

EXERCICE 2 (5 points)

Partie A

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 30$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 10$.

Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 20$.

1.

Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$.

2.

Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

3.

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout $n$ entier naturel.

4.

En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 20 + 10\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

5.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Justifier la réponse.

Partie B

Soit $(w_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par:

$$\begin{cases} w_0 = 45 \\ w_{n+1} = \dfrac{1}{2}w_n + \dfrac{1}{2}u_n + 7 \end{cases}$$

1.

Montrer que $w_1 = 44{,}5$.

On souhaite écrire une fonction suite, en langage Python, qui renvoie la valeur du terme $w_n$ pour une valeur de $n$ donnée. On donne ci-dessous une proposition pour cette fonction suite.

def suite(n):

U=30

W=45

for i in range(1,n+1):

U=U/2+10

W=W/2+U/2+7

return W

2.

L'exécution de suite(1) ne renvoie pas le terme $w_1$. Comment modifier la fonction suite afin que l'exécution de suite(n) renvoie la valeur du terme $w_n$ ?

3.

(a) Montrer, par récurrence sur $n$, que pour tout entier naturel $n$ on a:

$$w_n = 10n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 11\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 34$$

(b) On admet que pour tout entier naturel $n \ge 4$, on a: $0 \le 10n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \le \dfrac{10}{n}$.

Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite $(w_n)$ ?