Exercice 1 · Bac Mathématiques Asie 2023 (jour 1)

1. (a) Calculer $u_1$.

Réponse : 420

1. (a) Calculer $u_2$.

Réponse : 438

1. (b) Conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

Réponse : croissante

2. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a l'inégalité $0 \le u_n \le u_{n+1} \le 600$.

Réponse : Montrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le u_n \le u_{n+1} \le 600$. Initialisation : $u_0 = 400$ et $u_1 = 420$, or $0 \le 400 \le 420 \le 600$, donc $0 \le u_0 \le u_1 \le 600$. La propriété est vérifiée pour $n = 0$. Hérédité : Supposons que pour un entier naturel $k$, on a $0 \le u_k \le u_{k+1} \le 600$. On multiplie par $0{,}9 > 0$ : $$0 \le 0{,}9u_k \le 0{,}9u_{k+1} \le 540$$ On ajoute 60 : $$60 \le 0{,}9u_k + 60 \le 0{,}9u_{k+1} + 60 \le 600$$ Or $u_{k+1} = 0{,}9u_k + 60$ et $u_{k+2} = 0{,}9u_{k+1} + 60$, et comme $0 \le 60$ : $$0 \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le 600$$ La propriété est donc héréditaire. Conclusion : La propriété est vraie pour $n = 0$ et est héréditaire, donc d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $0 \le u_n \le u_{n+1} \le 600$.

3. (a) Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente.

Réponse : D'après la question précédente, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \le u_{n+1}$ donc la suite $(u_n)$ est croissante, et $u_n \le 600$ donc la suite $(u_n)$ est majorée par 600. D'après le théorème de convergence des suites monotones, la suite $(u_n)$ est convergente vers une limite $l \le 600$.

3. (b) Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

Réponse : 600

3. (b) Justifier la limite de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

Réponse : On remarque que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f(x) = 0{,}9x + 60$. La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme fonction affine. La suite $(u_n)$ converge vers $l \le 600$. Par passage à la limite, $l$ vérifie $f(l) = l$ : $$0{,}9l + 60 = l \iff 0{,}1l = 60 \iff l = 600$$ Ainsi, $\lim_{n\to+\infty} u_n = 600$.

4. Quelle valeur obtient-on en tapant dans la console de Python : mystere(500) ?

Réponse : 7

Partie B : Va-t-il être confronté à un problème de place dans son verger ?

Réponse : Oui

Partie B : Expliquer votre réponse.

Réponse : Notons $v_n$ le nombre d'arbres dans le verger au bout de $n$ années. Chaque année, l'arboriculteur vend 10% des arbres, il en conserve 90% (multiplication par 0,9), puis il en replante 60. On a donc $v_0 = 400$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_{n+1} = 0{,}9v_n + 60$. Ainsi, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n = u_n$. L'arboriculteur a la place pour 500 arbres au maximum. On cherche donc si $u_n > 500$ pour un certain $n$. D'après la question A.4, $u_7 > 500$ (avec $u_7 \approx 504$). Par conséquent, au bout de 7 ans (en 2030), le verger comptera plus de 500 arbres et l'arboriculteur sera donc confronté à un problème de place.