Exercice 2 - Suites numériques · Bac Mathématiques Asie 2022 (jour 1)

Principaux domaines abordés:

Suites numériques.

Algorithmique et programmation.

Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.

Partie A: modèle discret de la quantité médicamenteuse

Après une première injection de $1\text{ mg}$ de médicament, le patient est placé sous perfusion. On estime que, toutes les 30 minutes, l'organisme du patient élimine $10\,\%$ de la quantité de médicament présente dans le sang et qu'il reçoit une dose supplémentaire de $0{,}25\text{ mg}$ de la substance médicamenteuse.

On étudie l'évolution de la quantité de médicament dans le sang avec le modèle suivant: pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité, en mg, de médicament dans le sang du patient au bout de $n$ périodes de trente minutes. On a donc $u_0 = 1$.

1.

Calculer la quantité de médicament dans le sang au bout d'une demi-heure.

2.

Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,9u_n + 0,25$.

3.

(a)

Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \le u_{n+1} < 5$.

(b)

En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

4.

On estime que le médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à 1,8 mg.

(a)

Recopier et compléter le script écrit en langage Python suivant de manière à déterminer au bout de combien de périodes de trente minutes le médicament commence à être réellement efficace.

def efficace():

u = 1

n = 0

while.........:

u =...........

n = n + 1

return n

(b)

Quelle est la valeur renvoyée par ce script ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

5.

Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2,5 - u_n$.

(a)

Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme ($v_0$).

(b)

Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2,5 - 1,5 \times 0,9^n$.

(c)

Le médicament devient toxique lorsque sa quantité présente dans le sang du patient dépasse 3 mg. D'après le modèle choisi, le traitement présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.