Exercice 1 - Partie C · Bac Mathématiques Asie 2024 (jour 2)

Exercice 1 (5,5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = x^2 - x \ln(x)$.

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $]0; +\infty[$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la fonction dérivée de la fonction $f'$.

Partie C: Étude d'une suite récurrente

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \frac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$:

$$u_{n+1} = f(u_n) = u_n^2 - u_n \ln(u_n)$$

1.

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$:

$$\frac{1}{2} \le u_n \le u_{n+1} \le 1$$

2.

Justifier que la suite $(u_n)$ converge.

3.

On appelle $l$ la limite de la suite $(u_n)$ et on admet que $l$ vérifie l'égalité $f(l) = l$. Déterminer la valeur de $l$.