Exercice 1 · Bac Mathématiques Asie 2026 (jour 2)

Partie A - 1. Justifier tous les éléments du tableau de variation ci-dessous.

Réponse : Dérivée : $f'(x) = \frac{1}{(2x-3)^2} > 0$, donc $f$ est strictement croissante. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{1}{2}$ et $\lim_{x \to \frac{3}{2}^-} f(x) = +\infty$.

Partie A - 2. En déduire que pour tout $x \in [0 ; 1]$, on a : $f(x) \in [0 ; 1]$.

Réponse : $f([0;1]) = [f(0) ; f(1)] = \left[\frac{2}{3} ; 1\right] \subset [0 ; 1]$.

Partie B - 1. En utilisant la fonction $f$, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $0 \le u_n \le u_{n+1} \le 1$.

Réponse : Démonstration par récurrence : initialisation vérifiée pour $u_0 = 0$ et $u_1 = \frac{2}{3}$ ; hérédité établie grâce à la croissance de $f$ sur $[0 ; 1]$.

Partie B - 2. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

Réponse : La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 1, donc elle converge.

Partie B - 3. On note $l$ la limite de la suite $(u_n)$. En admettant que $l$ est solution de l'équation $f(x) = x$ sur l'intervalle $[0 ; 1]$, montrer que $l = 1$.

Réponse : $l(2l-3) = l-2 \iff 2l^2 - 4l + 2 = 0 \iff 2(l-1)^2 = 0 \iff l = 1$.

Partie B - 4. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

Réponse : 5 000 est le premier rang à partir duquel $u_n \ge 1 - 0{,}0001 = 0{,}9999$.

Partie B - 5. a. Donner la valeur de $u_0$ sous forme de fraction irréductible.

Réponse : 0

Partie B - 5. a. Donner la valeur de $u_1$ sous forme de fraction irréductible.

Réponse : 2/3

Partie B - 5. a. Donner la valeur de $u_2$ sous forme de fraction irréductible.

Réponse : 4/5

Partie B - 5. a. Donner la valeur de $u_3$ sous forme de fraction irréductible.

Réponse : 6/7

Partie B - 5. b. Conjecturer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Réponse : 2n/(2n+1)

Partie B - 5. b. Démontrer cette conjecture.

Réponse : Démonstration par récurrence : vérifiée au rang $n=0$ car $\frac{0}{1}=0$, et héréditaire en calculant $f\left(\frac{2n}{2n+1}\right) = \frac{2(n+1)}{2(n+1)+1}$.