Exercice 2 - Partie B · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2024 (jour 1)

EXERCICE 2 (6 points)

On dispose de deux urnes opaques $U_1$ et $U_2$.

L'urne $U_1$ contient 4 boules noires et 6 boules blanches.

L'urne $U_2$ contient 1 boule noire et 3 boules blanches.

On considère l'expérience aléatoire suivante:

On pioche au hasard une boule dans $U_1$ que l'on place dans $U_2$, puis on pioche au hasard une boule dans $U_2$.

On note:

$N_1$ l'événement « Piocher une boule noire dans l'urne $U_1$ ».

$N_2$ l'événement « Piocher une boule noire dans l'urne $U_2$ ».

Pour tout événement $A$, on note $\overline{A}$ son événement contraire.

PARTIE B

$n$ désigne un entier naturel non nul.

L'expérience aléatoire précédente est répétée $n$ fois de façon identique et indépendante, c'est-à-dire que les urnes $U_1$ et $U_2$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l'urne $U_1$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l'urne $U_2$, entre chaque expérience.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on pioche une boule noire dans l'urne $U_2$.

On rappelle que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $U_2$ est égale à $0{,}28$ et celle de piocher une boule blanche dans l'urne $U_2$ est égale à $0{,}72$.

1.

Déterminer la loi de probabilité suivie par $X$. Justifier votre réponse.

2.

Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel $n$ tel que: $1 - 0{,}72^n \ge 0{,}9$.

3.

Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'expérience.