Exercice 2 - Loi binomiale · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2025 (jour 1)

Thème : Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli et loi binomiale · Tiré du sujet Jour 1 (2025)

Énoncé

EXERCICE 2 – 5 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

5. Un nageur s'entraîne dans l'objectif de parcourir le 50 mètres nage libre en moins de 25 secondes. Au fil des entraînements, il s'avère que la probabilité qu'il y parvienne s'établit à 0,85.

Il effectue, sur une journée, 20 parcours chronométrés sur 50 mètres. On note XX la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où il nage cette distance en moins de 25 secondes lors de cette journée.

On admet que XX suit la loi binomiale de paramètres n=20n = 20 et p=0,85p = 0,85.

Affirmation 5

Sachant qu'il a atteint au moins 15 fois son objectif, une valeur approchée à 10−310^{-3} de la probabilité qu'il l'ait atteint au moins 18 fois est 0,434.

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

Indiquer si l'affirmation 5 est vraie ou fausse

Réponse : Vraie

Justification

Réponse : On cherche la probabilité conditionnelle P(X≥18∣X≥15)P(X \ge 18 \mid X \ge 15) : P(X≥18∣X≥15)=P((X≥15)∩(X≥18))P(X≥15)=P(X≥18)P(X≥15)P(X \ge 18 \mid X \ge 15) = \frac{P((X \ge 15) \cap (X \ge 18))}{P(X \ge 15)} = \frac{P(X \ge 18)}{P(X \ge 15)} Avec la calculatrice, on trouve : P(X≥15)≈0,9327P(X \ge 15) \approx 0{,}9327 P(X≥18)≈0,4049P(X \ge 18) \approx 0{,}4049 Donc : P(X≥18∣X≥15)≈0,40490,9327≈0,434P(X \ge 18 \mid X \ge 15) \approx \frac{0{,}4049}{0{,}9327} \approx 0{,}434 L'affirmation 5 est vraie.

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