Exercice 1 - Parties B et C · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2022 (jour 1)

EXERCICE 1 (7 points) [Probabilités]

PARTIE A

Le système d'alarme d'une entreprise fonctionne de telle sorte que, si un danger se présente, l'alarme s'active avec une probabilité de $0{,}97$.

La probabilité qu'un danger se présente est de $0{,}01$ et la probabilité que l'alarme s'active est de $0{,}01465$.

On note $A$ l'événement « l'alarme s'active » et $D$ l'événement « un danger se présente ». On note $\overline{M}$ l'événement contraire d'un événement $M$ et $P(M)$ la probabilité de l'événement $M$.

PARTIE B

Une usine fabrique en grande quantité des systèmes d'alarme. On prélève successivement et au hasard 5 systèmes d'alarme dans la production de l'usine. Ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.

On note $S$ l'événement « l'alarme ne fonctionne pas normalement » et on admet que $P(S) = 0{,}00525$.

On considère $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de systèmes d'alarme ne fonctionnant pas normalement parmi les 5 systèmes d'alarme prélevés.

Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$.

1.

Donner la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et préciser ses paramètres.

2.

Calculer la probabilité que, dans le lot prélevé, un seul système d'alarme ne fonctionne pas normalement.

3.

Calculer la probabilité que, dans le lot prélevé, au moins un système d'alarme ne fonctionne pas normalement.

PARTIE C

Soit $n$ un entier naturel non nul. On prélève successivement et au hasard $n$ systèmes d'alarme. Ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.

Déterminer le plus petit entier $n$ tel que la probabilité d'avoir, dans le lot prélevé, au moins un système d'alarme qui ne fonctionne pas normalement soit supérieure à $0{,}07$.