Exercice 1 - Partie B · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2023 (jour 2)

EXERCICE 1 (5 points)

Partie A

Un jeu proposé dans une fête foraine consiste à effectuer trois tirs successivement sur une cible mouvante. On a constaté que:

Si le joueur atteint la cible lors d’un tir alors il ne l’atteint pas lors du tir suivant dans 65 % des cas;

Si le joueur n’atteint pas la cible lors d’un tir alors il l’atteint lors du tir suivant dans 50 % des cas.

La probabilité qu’un joueur atteigne la cible lors de son premier tir est de 0,6.

Pour tout événement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ l’événement contraire de $A$.

On choisit au hasard un joueur à ce jeu de tirs. On considère les événements suivants:

$A_1$: « Le joueur atteint la cible lors du 1 er tir »

$A_2$: « Le joueur atteint la cible lors du 2 e tir »

$A_3$: « Le joueur atteint la cible lors du 3 e tir ».

Partie B

On considère $N$, un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Un groupe de $N$ personnes se présente à ce stand pour jouer à ce jeu dans des conditions identiques et indépendantes. Un joueur est déclaré gagnant lorsqu'il atteint trois fois la cible.

On note $Y$ la variable aléatoire qui compte parmi les $N$ personnes le nombre de joueurs déclarés gagnants.

1.

Dans cette question, $N = 15$.

a.

Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

Paramètres: $n =$

et $p =$

b.

Donner la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'exactement 5 joueurs soient gagnants à ce jeu.

2.

Par la méthode de votre choix, que vous expliciterez, déterminer le nombre minimum de personnes qui doivent se présenter à ce stand pour que la probabilité qu'il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à 0,98.