Exercice 1 - Loi binomiale · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2026 (jour 1)

Une plateforme de diffusion musicale propose trois types d'abonnements: « Étudiant », « Classique » et « Famille ». Elle propose également une option « Écoute hors-ligne » qu'on peut activer pour chaque type d'abonnement et qui permet de télécharger de la musique.

Une étude statistique menée sur les abonnés a permis d'établir que:

25 % des abonnés ont choisi l'abonnement « Étudiant » et 15 % ont choisi l'abonnement « Famille »;

45 % des abonnés « Étudiant » ont activé l'option « Écoute hors-ligne »;

30 % des abonnés « Classique » ont activé l'option « Écoute hors-ligne »;

12 % des abonnés ont choisi l'abonnement « Famille » et ont activé l'option « Écoute hors-ligne ».

On prélève au hasard le profil d'un abonné et on considère les événements suivants:

$E$: l'abonné a choisi l'abonnement « Étudiant »;

$C$: l'abonné a choisi l'abonnement « Classique »;

$F$: l'abonné a choisi l'abonnement « Famille »;

$H$: l'abonné a activé l'option « Écoute hors-ligne ».

Partie B

On choisit huit abonnés de cette plateforme, au hasard et de manière indépendante. On considère qu'il y a suffisamment d'abonnés pour que ce choix soit assimilé à un tirage avec remise.

On rappelle que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est de $0{,}4125$.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'abonnés ayant activé l'option « Écoute hors-ligne ».

1.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres:

$n =$

$p =$

2.

$P(X = 0) \approx$

3.

Dans cette question, $n$ est un entier naturel non nul.

On s'intéresse à un échantillon de $n$ abonnés, qu'on assimile à un tirage avec remise.

On note $q_n$ la probabilité qu'au moins un abonné de cet échantillon ait activé l'option « Écoute hors-ligne ».

a.

Démontrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $q_n = 1 - 0{,}5875^n$.

b.

$n \ge$