Aufgabe MMS 1 · Aufgabe 2 - Hypothesentest · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2024

Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden, das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.

Unter den Abonnenten sind $70\,\%$ höchstens $40$ Jahre alt. Von diesen haben $80\,\%$ das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter als $40$ Jahre sind, haben sich $50\,\%$ für das Komplettpaket entschieden.

Der Anteil der zufriedenen Abonnenten von derzeit $60\,\%$ soll gesteigert werden. Dazu wird ein Algorithmus entwickelt, der jedem Abonnenten täglich individuell einen Spielfilm vorschlägt. Als Basis für die Entscheidung über den dauerhaften Einsatz des Algorithmus plant das Management einen Probebetrieb. Im Anschluss soll die Nullhypothese „Der Anteil der zufriedenen Abonnenten beträgt höchstens $60\,\%$.“ mithilfe einer Stichprobe von $200$ zufällig ausgewählten Abonnenten auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden.

a)

Geben Sie an, welche Überlegung des Managements zur Wahl dieser Nullhypothese geführt haben könnte. [2 BE]

Für den beschriebenen Test ergibt sich $\{132; 133; \dots; 200\}$ als der Ablehnungsbereich der Nullhypothese.

b)

Zur Bestimmung der unteren Grenze dieses Ablehnungsbereichs wurden zunächst folgende Lösungsschritte ausgeführt:

$Y$: Anzahl der zufriedenen Abonnenten in der Stichprobe

$P_{0{,}6}^{200}(Y \ge 132) \approx 0{,}047$

Begründen Sie, dass die beiden Lösungsschritte zur Bestimmung der unteren Grenze nicht ausreichend sind, und ergänzen Sie diese geeignet. [4 BE]

c)

Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als $90\,\%$ betragen könnte. [4 BE]