Abitur Thüringen Mathematik 2024 · LK · Teil B · Stochastik (WTR)

Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden, das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.

1 Unter den Abonnenten sind 70 % höchstens 40 Jahre alt. Von diesen haben 80 % das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter als 40 Jahre sind, haben sich 50 % für das Komplettpaket entschieden.

Unter den Abonnenten sind $70\,\%$ höchstens $40$ Jahre alt. Von diesen haben $80\,\%$ das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter als $40$ Jahre sind, haben sich $50\,\%$ für das Komplettpaket entschieden.

a

Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. [3 BE]

b

Eine unter allen Abonnenten zufällig ausgewählte Person hat sich für das Komplettpaket entschieden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie höchstens $40$ Jahre alt ist. [3 BE]

%

Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden, das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.

1 Unter den Abonnenten sind 70 % höchstens 40 Jahre alt. Von diesen haben 80 % das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter als 40 Jahre sind, haben sich 50 % für das Komplettpaket entschieden.

Unter den Abonnenten sind $70\,\%$ höchstens $40$ Jahre alt. Von diesen haben $80\,\%$ das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter als $40$ Jahre sind, haben sich $50\,\%$ für das Komplettpaket entschieden.

c

Bestimmen Sie die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mehr als fünf Personen älter als $40$ Jahre sind. [4 BE]

Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden, das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.

1 Unter den Abonnenten sind 70 % höchstens 40 Jahre alt. Von diesen haben 80 % das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter als 40 Jahre sind, haben sich 50 % für das Komplettpaket entschieden.

2 Der Anteil der zufriedenen Abonnenten von derzeit 60 % soll gesteigert werden. Dazu wird ein Algorithmus entwickelt, der jedem Abonnenten täglich individuell einen Spielfilm vorschlägt. Als Basis für die Entscheidung über den dauerhaften Einsatz des Algorithmus plant das Management einen Probebetrieb. Im Anschluss soll die Nullhypothese „Der Anteil der zufriedenen Abonnenten beträgt höchstens 60 %.“ mithilfe einer Stichprobe von 200 zufällig ausgewählten Abonnenten auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden.

a)

Geben Sie an, welche Überlegung des Managements zur Wahl dieser Nullhypothese geführt haben könnte. [2 BE]

b)

Für den beschriebenen Test ergibt sich $\{132; 133; \dots; 200\}$ als der Ablehnungsbereich der Nullhypothese.

Zur Bestimmung der unteren Grenze dieses Ablehnungsbereichs wurden zunächst folgende Lösungsschritte ausgeführt:

♦ $Y$: Anzahl der zufriedenen Abonnenten in der Stichprobe

♦ $P_{0{,}6}^{200}(Y \ge 132) \approx 0{,}047$

Begründen Sie, dass die beiden Lösungsschritte zur Bestimmung der unteren Grenze nicht ausreichend sind, und ergänzen Sie diese geeignet. [4 BE]

c)

Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als 90 % betragen könnte. [4 BE]

Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden, das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.

1 Unter den Abonnenten sind 70 % höchstens 40 Jahre alt. Von diesen haben 80 % das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter als 40 Jahre sind, haben sich 50 % für das Komplettpaket entschieden.

Zur Anmeldung auf der Webseite des Streamingdiensts ist ein persönliches Kennwort erforderlich. Für das Kennwort können 80 verschiedene Zeichen verwendet werden: je 26 Groß- und Kleinbuchstaben, 10 Ziffern sowie 18 Sonderzeichen.

a)

Einige Abonnenten verwenden ein Kennwort, das genau acht Zeichen lang ist und nur aus Kleinbuchstaben besteht. Dabei können Zeichen mehrfach vorkommen. Zeigen Sie, dass für diese Abonnenten weniger als ein Tausendstel aller möglichen Kennwörter infrage kommen, die aus genau acht Zeichen bestehen. [2 BE]

b)

Niclas beschließt ein Kennwort zu wählen, das die beiden folgenden Bedingungen erfüllt:

Es besteht aus genau acht Zeichen, die untereinander verschieden sind.

Die Buchstaben seines Namens sind in der korrekten Reihenfolge und unter Berücksichtigung der Groß- und Kleinschreibung enthalten.

Damit sind beispielsweise Nic4+las oder nNicl*as mögliche Kennwörter. Bestimmen Sie die Anzahl aller derartigen Kennwörter. [3 BE]

Bei einer statistischen Erhebung werden in einer deutschen Großstadt die privaten Haushalte mit mindestens einem Kind im Vorschulalter betrachtet. Diese werden im Folgenden als „junge Haushalte“ bezeichnet. Es wird festgestellt, dass $60\,\%$ der jungen Haushalte mit mindestens einem Pkw ausgestattet sind und $8\,\%$ der jungen Haushalte mit mindestens einem Lastenrad. In $14\,\%$ der jungen Haushalte ohne Pkw ist mindestens ein Lastenrad vorhanden.

a

Stellen Sie den beschriebenen Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

Ereignisse: $A$: „Ein junger Haushalt ist mit mindestens einem Pkw ausgestattet.“ | $B$: „Ein junger Haushalt ist mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet.“

· $B$ · $\overline{B}$ · Summe

$A$

$\overline{A}$

Summe

b

Beurteilen Sie für diese Großstadt die folgende Aussage:

„Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter junger Haushalt mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet ist, ist bei einem jungen Haushalt ohne Pkw mehr als dreimal so groß wie bei einem jungen Haushalt mit mindestens einem Pkw.“

e

Eine Kita betreut 80 Kinder, von denen zwölf mit dem Lastenrad dorthin gebracht werden. Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter zehn zufällig ausgewählten Kindern dieser Kita genau zwei befinden, die mit einem Lastenrad gebracht werden, etwa 29,6 % beträgt.

Bei einer statistischen Erhebung werden in einer deutschen Großstadt die privaten Haushalte mit mindestens einem Kind im Vorschulalter betrachtet. Diese werden im Folgenden als „junge Haushalte“ bezeichnet. Es wird festgestellt, dass $60\,\%$ der jungen Haushalte mit mindestens einem Pkw ausgestattet sind und $8\,\%$ der jungen Haushalte mit mindestens einem Lastenrad. In $14\,\%$ der jungen Haushalte ohne Pkw ist mindestens ein Lastenrad vorhanden.

$300$ junge Haushalte dieser Großstadt werden zufällig ausgewählt.

c)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $20$ und höchstens $30$ dieser Haushalte mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet sind.

d)

Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term

$$1 - \sum_{k=201}^{300} \binom{300}{k} \cdot 0{,}6^k \cdot 0{,}4^{300-k}$$

berechnet werden kann.

Bei einer statistischen Erhebung werden in einer deutschen Großstadt die privaten Haushalte mit mindestens einem Kind im Vorschulalter betrachtet. Diese werden im Folgenden als „junge Haushalte“ bezeichnet. Es wird festgestellt, dass $60\,\%$ der jungen Haushalte mit mindestens einem Pkw ausgestattet sind und $8\,\%$ der jungen Haushalte mit mindestens einem Lastenrad. In $14\,\%$ der jungen Haushalte ohne Pkw ist mindestens ein Lastenrad vorhanden.

2 Betrachtet werden Vorderrad- und Hinterradreifen für Lastenräder. Auf einem Prüfstand kann die Laufleistung von solchen Reifen gemessen werden. Die Laufleistung gibt die auf dem Prüfstand ermittelte Gesamtstrecke an, bis der Reifen unbrauchbar wird. Die Zufallsgröße $V$ beschreibt die Laufleistung in Kilometern (km) der Vorderradreifen eines bestimmten Herstellers, die Zufallsgröße $H$ der Hinterradreifen desselben Herstellers. $V$ wird als normalverteilt mit dem Erwartungswert $6800\text{ km}$ und der Standardabweichung $530\text{ km}$ angenommen. $H$ wird als normalverteilt mit dem Erwartungswert $4600\text{ km}$ und der Standardabweichung $480\text{ km}$ angenommen.

a)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Vorderradreifen dieses Herstellers eine Laufleistung hat, die um höchstens $600\text{ km}$ vom Erwartungswert für diese Laufleistung abweicht.

b)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage für die Vorderrad- und Hinterradreifen dieses Herstellers wahr ist:

Die Laufleistung, die ein zufällig ausgewählter Vorderradreifen gemäß dem Modell mit der Wahrscheinlichkeit von $90\,\%$ übertreffen wird, wird ein zufällig ausgewählter Hinterradreifen nahezu mit Sicherheit unterschreiten.

c)

Die Zufallsgröße $Z$ beschreibt die Laufleistung in km der Hinterradreifen eines anderen Herstellers. $Z$ wird als normalverteilt mit dem Erwartungswert $\mu_Z$ und der Standardabweichung $\sigma_Z$ angenommen. Die Abbildung stellt den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x) = P(Z \le 1000 \cdot x)$ dar.

Ermitteln Sie die Werte von $\mu_Z$ und $\sigma_Z$ jeweils in km.