Aufgabe MMS 2 · Aufgabe 2 - Beurteilende Statistik: Progn… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2024

Ein Institut für Ernährungsforschung untersucht die Essgewohnheiten von in Deutschland lebenden Personen einer bestimmten Altersgruppe.

1 Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass sich 30 % der Personen der betrachteten Gruppe häufig von Fertiggerichten ernähren.

Das Institut untersucht den Anteil $p$ der Personen der betrachteten Gruppe, die einen bestimmten zuckerfreien Müsliriegel gegenüber einem vergleichbaren zuckerhaltigen Müsliriegel bevorzugen.

a)

Aufgrund früherer Untersuchungen wird von einem Anteil $p$ von $35\,\%$ ausgegangen. Bei einer Umfrage unter $200$ Personen der betrachteten Gruppe gaben $86$ Personen an, den zuckerfreien Müsliriegel zu bevorzugen. Abgebildet sind die Graphen der für $p \in [0;1]$ definierten Funktionen

$$f: p \mapsto p - 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{200}} \quad \text{und} \quad g: p \mapsto p + 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{200}}$$

Interpretieren Sie das Ergebnis der Umfrage im Hinblick auf die Bedeutung des Intervalls $a \le y \le b$ (vgl. Abbildung).

b)

Nach der Durchführung einer Werbemaßnahme für den zuckerfreien Müsliriegel möchte das Institut Anhaltspunkte darüber gewinnen, wie groß der Anteil $p$ inzwischen ist. Unter den Personen der betrachteten Gruppe wurde daraufhin eine Umfrage erhoben. Die Auswertung der Umfrage ergab, dass etwa $61\,\%$ der befragten Personen den zuckerfreien Riegel bevorzugen. Das zugehörige $95\,\%$-Konfidenzintervall, dessen Ränder mit der Gleichung $|h - p| = 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}}$ berechnet werden, besitzt eine Länge, die kleiner als $0{,}1$ ist. Ermitteln Sie die Anzahl der Personen, die im Rahmen der Umfrage mindestens befragt wurden.