Abitur Rheinland-Pfalz Mathematik 2023 · LK · Teil B · Analysis (WTR)

1 Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau.

An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8 - 5x) \cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)^2 = -\frac{5}{16}x^4 + 3x^3 - 9x^2 + 8x$$

beschrieben werden. Dabei gibt $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde an. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ für $0 \le x \le 4$.

Für die erste Ableitungsfunktion von $f$ gilt $f'(x) = (5x^2 - 16x + 8)\cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)$.

Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion $f$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit

$$s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4 - x)^3 = -\frac{1}{16}x^5 + \frac{3}{4}x^4 - 3x^3 + 4x^2$$

von Bedeutung.

Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung 2 gezeigten Graphen dargestellt. Dabei ist $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $y$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Für die erste Ableitungsfunktion von $f$ gilt $f'(x) = \left(5x^2 - 16x + 8\right) \cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)$.

a)

Nennen Sie die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat, und begründen Sie anhand der Struktur des Funktionsterms von $f$, dass es keine weiteren solchen Zeitpunkte gibt.

[3 BE]

b)

Es gilt $f(2) < 0$. Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an.

[1 BE]

c)

Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt.

[5 BE]

d)

Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist. Begründen Sie Ihre Angabe.

[2 BE]

1 Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau.

An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8 - 5x) \cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)^2 = -\frac{5}{16}x^4 + 3x^3 - 9x^2 + 8x$$

beschrieben werden. Dabei gibt $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde an. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ für $0 \le x \le 4$.

Für die erste Ableitungsfunktion von $f$ gilt $f'(x) = (5x^2 - 16x + 8)\cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)$.

Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion $f$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit

$$s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4 - x)^3 = -\frac{1}{16}x^5 + \frac{3}{4}x^4 - 3x^3 + 4x^2$$

von Bedeutung.

Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung 2 gezeigten Graphen dargestellt. Dabei ist $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $y$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion $f$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x)=\left(\frac{x}{4}\right)^2\cdot(4-x)^3 = -\frac{1}{16}x^5 + \frac{3}{4}x^4 - 3x^3 + 4x^2$ von Bedeutung.

e)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Bestätigen Sie rechnerisch, dass sich der Stau um 10:00 Uhr vollständig aufgelöst hat.

f)

Berechnen Sie die Zunahme der Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr und bestimmen Sie für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge.

g)

Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung 2 gezeigten Graphen dargestellt. Dabei ist $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $y$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Um 07:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Es gibt einen anderen Zeitpunkt, zu dem der Stau die gleiche Länge hat. Markieren Sie diesen Zeitpunkt in der Abbildung 2, begründen Sie Ihre Markierung und veranschaulichen Sie Ihre Begründung in der Abbildung 2.

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_k$ mit $h_k(x) = (x-3)^k + 1$ und $k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$.

Die Graphen von $h_k$ und $h'_k$ werden in der Abbildung 3 für $k = 4$ beispielhaft für gerade Werte von $k$ gezeigt, in der Abbildung 4 für $k = 5$ beispielhaft für ungerade Werte von $k$.

Für $k \ge 4$ werden die Punkte $P(4 \mid h_k(4))$, $Q(4 \mid h'_k(4))$, $R(2 \mid h_k(2))$ und $S(2 \mid h'_k(2))$ betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks.

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_k$ mit $h_k(x)=(x-3)^k + 1$ und $k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$.

a)

Geben Sie in Abhängigkeit von $k$ das Verhalten von $h_k$ für $x \to -\infty$ an und begründen Sie Ihre Angabe.

b)

Ermitteln Sie die Koordinaten der beiden Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.

$P_1$:

$P_2$:

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_k$ mit $h_k(x) = (x-3)^k + 1$ und $k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$.

Die Graphen von $h_k$ und $h'_k$ werden in der Abbildung 3 für $k = 4$ beispielhaft für gerade Werte von $k$ gezeigt, in der Abbildung 4 für $k = 5$ beispielhaft für ungerade Werte von $k$.

Für $k \ge 4$ werden die Punkte $P(4 \mid h_k(4))$, $Q(4 \mid h'_k(4))$, $R(2 \mid h_k(2))$ und $S(2 \mid h'_k(2))$ betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks.

c)

Die erste Ableitungsfunktion von $h_k$ wird mit $h'_k$ bezeichnet. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Es gibt genau einen Wert von $k$, für den der Graph von $h'_k$ Tangente an den Graphen von $h_k$ ist.

[6 Punkte]

d)

Die Graphen von $h_k$ und $h'_k$ werden in der Abbildung 3 für $k = 4$ beispielhaft für gerade Werte von $k$ gezeigt, in der Abbildung 4 für $k = 5$ beispielhaft für ungerade Werte von $k$.

Für $k \ge 4$ werden die Punkte $P(4 \mid h_k(4))$, $Q(4 \mid h'_k(4))$, $R(2 \mid h_k(2))$ und $S(2 \mid h'_k(2))$ betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks. Begründen Sie, dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist, und zeigen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

Für jeden geraden Wert von $k$ mit $k \ge 4$ stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für $k$ und der Flächeninhalt des Trapezes für $k + 1$ überein.

[7 Punkte]

Die Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400\text{ m}$. Die Wasseroberfläche liegt $20\text{ m}$ unterhalb der Fahrbahn.

Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.

Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10\text{ m}$ in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die x-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die y-Achse entlang der Symmetrieachse.

Im rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils modellhaft durch den Funktionsterm $$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{11}\cdot(32-x)} - 1\right)$$ beschrieben.

a

Zeigen Sie, dass die Fahrbahn der Brücke insgesamt $640\text{ m}$ lang ist. [4 BE]

b

Auch im linken Abschnitt der Brücke kann der Verlauf des Abspannseils im Modell durch einen Funktionsterm beschrieben werden. Geben Sie einen passenden Term $\ell(x)$ sowie das Intervall an, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt. [3 BE]

c

Berechnen Sie die Höhe der Pfeiler über der Wasseroberfläche. [3 BE]

Die Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400\text{ m}$. Die Wasseroberfläche liegt $20\text{ m}$ unterhalb der Fahrbahn.

Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.

Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10\text{ m}$ in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die x-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die y-Achse entlang der Symmetrieachse.

Im rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils modellhaft durch den Funktionsterm $$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{11}\cdot(32-x)} - 1\right)$$ beschrieben.

d

Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem das rechte Abspannseil auf den zugehörigen Pfeiler trifft. [5 BE]

Die Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400\text{ m}$. Die Wasseroberfläche liegt $20\text{ m}$ unterhalb der Fahrbahn.

Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.

Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10\text{ m}$ in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die x-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die y-Achse entlang der Symmetrieachse.

Im rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils modellhaft durch den Funktionsterm $$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{11}\cdot(32-x)} - 1\right)$$ beschrieben.

e

In der Seitenansicht begrenzen der rechte Pfeiler, das zugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück. Berechnen Sie dessen Inhalt in der Realität. [5 BE]

Die Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400\text{ m}$. Die Wasseroberfläche liegt $20\text{ m}$ unterhalb der Fahrbahn.

Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.

Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10\text{ m}$ in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die x-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die y-Achse entlang der Symmetrieachse.

Im Folgenden wird der mittlere Abschnitt der Brücke betrachtet. Die vertikal verlaufenden Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Sie haben sowohl von den Pfeilern als auch untereinander einen horizontalen Abstand von $16\text{ m}$.

Der Verlauf des Tragseils wird modellhaft durch den Funktionsterm$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \left(x^4 + 2560x^2\right) + \frac{125}{256}$$beschrieben.

Der Verlauf des Tragseils kann näherungsweise durch einen Kreisbogen beschrieben werden. Dazu dient der Kreis mit dem Mittelpunkt $M\left(0 \mid \frac{1699}{36}\right)$, der durch die Punkte $A(-20 \mid 5)$, $B(20 \mid 5)$ und $C\left(0 \mid \frac{1}{2}\right)$ verläuft (vgl. Abbildung 2).

a

Begründen Sie, dass der Term von $s$ damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist. [2 BE]

b

Zwei Punkte des Tragseils in der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts haben einen horizontalen Abstand von $40\text{ m}$ und einen Höhenunterschied von $5\text{ m}$. Geben Sie eine Gleichung an, deren Lösung die x-Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist. [2 BE]

e

Der Verlauf des Tragseils kann näherungsweise durch einen Kreisbogen beschrieben werden. Dazu dient der Kreis mit dem Mittelpunkt $M\left(0\mid\frac{1699}{36}\right)$, der durch die Punkte $A(-20\mid 5)$, $B(20\mid 5)$ und $C\left(0\mid\frac{1}{2}\right)$ verläuft (vgl. Abbildung 2). Berechnen Sie unter Verwendung des Kreisbogens die Länge des Tragseils. [5 BE]

Die Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400\text{ m}$. Die Wasseroberfläche liegt $20\text{ m}$ unterhalb der Fahrbahn.

Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.

Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10\text{ m}$ in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die x-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die y-Achse entlang der Symmetrieachse.

Im Folgenden wird der mittlere Abschnitt der Brücke betrachtet. Die vertikal verlaufenden Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Sie haben sowohl von den Pfeilern als auch untereinander einen horizontalen Abstand von $16\text{ m}$.

Der Verlauf des Tragseils wird modellhaft durch den Funktionsterm$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \left(x^4 + 2560x^2\right) + \frac{125}{256}$$beschrieben.

Der Verlauf des Tragseils kann näherungsweise durch einen Kreisbogen beschrieben werden. Dazu dient der Kreis mit dem Mittelpunkt $M\left(0 \mid \frac{1699}{36}\right)$, der durch die Punkte $A(-20 \mid 5)$, $B(20 \mid 5)$ und $C\left(0 \mid \frac{1}{2}\right)$ verläuft (vgl. Abbildung 2).

c)

Geben Sie die Bedeutung des Terms $\left(\sum_{k=1}^{24} s(-20+1{,}6\cdot k)\right) \cdot 10$ im Sachzusammenhang an und begründen Sie Ihre Angabe.

Die Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400\text{ m}$. Die Wasseroberfläche liegt $20\text{ m}$ unterhalb der Fahrbahn.

Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.

Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10\text{ m}$ in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die x-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die y-Achse entlang der Symmetrieachse.

Im Folgenden wird der mittlere Abschnitt der Brücke betrachtet. Die vertikal verlaufenden Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Sie haben sowohl von den Pfeilern als auch untereinander einen horizontalen Abstand von $16\text{ m}$.

Der Verlauf des Tragseils wird modellhaft durch den Funktionsterm$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \left(x^4 + 2560x^2\right) + \frac{125}{256}$$beschrieben.

Der Verlauf des Tragseils kann näherungsweise durch einen Kreisbogen beschrieben werden. Dazu dient der Kreis mit dem Mittelpunkt $M\left(0 \mid \frac{1699}{36}\right)$, der durch die Punkte $A(-20 \mid 5)$, $B(20 \mid 5)$ und $C\left(0 \mid \frac{1}{2}\right)$ verläuft (vgl. Abbildung 2).

d)

Die Lösung der Gleichung $\frac{s(x)-0}{x-20}\cdot s'(x)=-1$ ermöglicht die Berechnung eines Abstands im Sachzusammenhang. Geben Sie an, um welchen Abstand es sich handelt, und begründen Sie Ihre Angabe.