Abitur Rheinland-Pfalz Mathematik 2023 · LK · Teil A · Stochastik

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, auf denen jeweils eine Zahl steht. Auf drei der Kugeln steht die Zahl 2, auf zwei der Kugeln die negative Zahl $a$. Zweimal nacheinander wird eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.

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Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$ berechnet werden kann.

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, auf denen jeweils eine Zahl steht. Auf drei der Kugeln steht die Zahl 2, auf zwei der Kugeln die negative Zahl $a$. Zweimal nacheinander wird eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.

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Die Zufallsgröße $X$ gibt das Produkt der Zahlen an, die auf den beiden entnommenen Kugeln stehen. Der Erwartungswert von $X$ ist $4$. Bestimmen Sie den Wert von $a$.

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, auf denen jeweils eine Zahl steht. Auf drei der Kugeln steht die Zahl 2, auf zwei der Kugeln die negative Zahl $a$. Zweimal nacheinander wird eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.

Ein Glücksrad besteht aus zwei Sektoren, die mit den Zahlen 2 bzw. 3 beschriftet sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einmaligem Drehen die Zahl 2 erzielt wird, beträgt $p$. Bei einem Spiel dreht eine Person das Glücksrad genau so oft, bis die Summe der erzielten Zahlen 5, 6 oder 7 beträgt. Bei der Summe 6 gewinnt die Person das Spiel, sonst verliert sie.

a

Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. [2 BE]

b

Die beiden folgenden Ereignisse sind stochastisch unabhängig:

$E$: „Beim ersten Drehen des Glücksrads wird die Zahl 2 erzielt.“

$G$: „Die Person gewinnt das Spiel.“

Ermitteln Sie eine Gleichung, die die Variable $p$ enthält und die Berechnung des Werts von $p$ ermöglicht. [3 BE]

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, auf denen jeweils eine Zahl steht. Auf drei der Kugeln steht die Zahl 2, auf zwei der Kugeln die negative Zahl $a$. Zweimal nacheinander wird eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.

Aufgabe 1

In einem Behälter $B_1$ befinden sich fünf rote Kugeln, in einem zweiten Behälter $B_2$ zwei rote Kugeln und eine unbekannte Anzahl $n$ blauer Kugeln, wobei $n > 1$ gilt.

Aus dem Behälter $B_2$ wird eine Kugel zufällig entnommen und in den Behälter $B_1$ gelegt.

a

Angenommen, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nun in einem der Behälter ausschließlich Kugeln derselben Farbe liegen, beträgt $\frac{1}{5}$. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $n$ und beschreiben Sie Ihren Gedankengang.

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Geben Sie für den Fall $n = 6$ die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Anzahl der roten Kugeln im Behälter $B_1$ mit der Anzahl der blauen Kugeln im Behälter $B_2$ übereinstimmt. Begründen Sie Ihre Angabe.

Die vier Seiten eines regelmäßigen Tetraeders sind mit den Zahlen 1, 2, 3 und 4 durchnummeriert. Das Tetraeder wird fünfmal geworfen.

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Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $\left(\frac{3}{4}\right)^5$ berechnet werden kann, und begründen Sie Ihre Angabe. [2 BE]

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Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass jede Zahl mindestens einmal erzielt wird. [3 BE]

In einen leeren Behälter werden drei Kugeln gelegt. Dabei wird die Farbe jeder Kugel durch Werfen eines Würfels festgelegt, dessen Seiten mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind: Wird die „1“ oder die „2“ erzielt, wird eine gelbe Kugel gewählt, sonst eine schwarze.

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Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich nun mindestens zwei schwarze Kugeln im Behälter befinden, $\frac{20}{27}$ beträgt.

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Aus dem Behälter werden zwei der drei Kugeln zufällig entnommen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide entnommenen Kugeln schwarz sind.