Abitur Rheinland-Pfalz Mathematik 2019 · LK · Teil B · Analysis (CAS)

Trinkt man ein koffeinhaltiges Getränk (z. B. Kaffee, Cola, Energydrink), so wird darin enthaltenes Koffein vom Körper ins Blut aufgenommen und dort kontinuierlich wieder abgebaut. Im Folgenden werden der Aufnahmevorgang und der Abbauvorgang zunächst gesondert und erst anschließend gemeinsam untersucht.

Untersuchung des Abbauvorgangs

Zur gesonderten Untersuchung des Abbauvorgangs soll davon ausgegangen werden, dass die Aufnahme von Koffein ins Blut bereits abgeschlossen ist und die Konzentration des Koffeins im Blut innerhalb von jeweils 240 Minuten um die Hälfte abnimmt.

Unter diesen Voraussetzungen lässt sich die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: t \mapsto c \cdot \mathrm{e}^{a \cdot t}$ mit $a \in \mathbb{R}$ und $c \in \mathbb{R}^+$ beschreiben. Dabei ist $f(t)$ die Koffeinkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$ und $t$ die Zeit in Minuten, die seit Beginn der Beobachtung dieser Konzentration vergangen ist.

Untersuchung des Aufnahmevorgangs

Berücksichtigt man nur den Aufnahmevorgang, lässt also den gleichzeitig erfolgenden Abbau von Koffein außer Acht, so kann die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g: t \mapsto k \cdot (1 - \mathrm{e}^{b \cdot t})$ mit $k \in \mathbb{R}^+$ und $b \in \mathbb{R}$ beschrieben werden. Dabei ist $g(t)$ die Koffeinkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$ und $t$ die Zeit in Minuten, die seit Beginn der Beobachtung dieser Konzentration vergangen ist.

Im Folgenden soll angenommen werden, dass die Blutmenge konstant 5 Liter beträgt und insgesamt 100 mg Koffein ins Blut aufgenommen werden.

Der folgenden Tabelle können Koffeinkonzentrationen entnommen werden, die sich aus einer Messung ergeben, wenn man den Abbauvorgang außer Acht lässt:

seit Beginn der Beobachtung vergangene Zeit in Minuten · 0 · 15 · 30 · 45

Koffeinkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$ · 0 · 0,0127 · 0,0173 · 0,0190

Sollen Messwerte mithilfe einer Funktion möglichst gut beschrieben werden, so wird die Funktion häufig so gewählt, dass die Summe der quadrierten Differenzen der Funktionswerte und der Messwerte möglichst klein ist. In der Abbildung 1 sind Differenzen von Funktionswerten und Messwerten beispielhaft in Form von Strecken veranschaulicht.

Gemeinsame Untersuchung des Aufnahme- und Abbauvorgangs

Eine Person, in deren Körper kein Koffein enthalten ist, trinkt ein koffeinhaltiges Getränk. Berücksichtigt man nun sowohl den Aufnahmevorgang als auch den Abbauvorgang, so wird die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration im Blut mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h: t \mapsto 0{,}010 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}003 \cdot t} \cdot (1 - \mathrm{e}^{-0{,}07 \cdot t})$ beschrieben. Dabei ist $h(t)$ die Koffeinkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$ und $t$ die Zeit in Minuten, die seit dem Einsetzen des Aufnahmevorgangs vergangen ist. Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von $h$.

a)

Ermitteln Sie die Zeitdauer, innerhalb derer die Koffeinkonzentration um $75\,\%$ abnimmt.

b)

Unter diesen Voraussetzungen lässt sich die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: t \mapsto c \cdot \mathrm{e}^{a \cdot t}$ mit $a \in \mathbb{R}$ und $c \in \mathbb{R}^+$ beschreiben. Dabei ist $f(t)$ die Koffeinkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$ und $t$ die Zeit in Minuten, die seit Beginn der Beobachtung dieser Konzentration vergangen ist. Begründen Sie, dass $c$ die Koffeinkonzentration zu Beginn der Beobachtung angibt, und bestimmen Sie den passenden Wert von $a$.

d)

Begründen Sie unter Berücksichtigung des Sachzusammenhangs, dass $b < 0$ gilt.

e)

Geben Sie die Bedeutung von $k$ im Sachzusammenhang an und zeigen Sie, dass $k = 0{,}02$ gilt.

i)

Bestimmen Sie mithilfe einer Rechnung die Zeiträume ab dem Einsetzen des Aufnahmevorgangs, in denen die Koffeinkonzentration höchstens $0{,}007\,\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$ beträgt.

Trinkt man ein koffeinhaltiges Getränk (z. B. Kaffee, Cola, Energydrink), so wird darin enthaltenes Koffein vom Körper ins Blut aufgenommen und dort kontinuierlich wieder abgebaut. Im Folgenden werden der Aufnahmevorgang und der Abbauvorgang zunächst gesondert und erst anschließend gemeinsam untersucht.

Untersuchung des Abbauvorgangs

Zur gesonderten Untersuchung des Abbauvorgangs soll davon ausgegangen werden, dass die Aufnahme von Koffein ins Blut bereits abgeschlossen ist und die Konzentration des Koffeins im Blut innerhalb von jeweils 240 Minuten um die Hälfte abnimmt.

Unter diesen Voraussetzungen lässt sich die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: t \mapsto c \cdot \mathrm{e}^{a \cdot t}$ mit $a \in \mathbb{R}$ und $c \in \mathbb{R}^+$ beschreiben. Dabei ist $f(t)$ die Koffeinkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$ und $t$ die Zeit in Minuten, die seit Beginn der Beobachtung dieser Konzentration vergangen ist.

Untersuchung des Aufnahmevorgangs

Berücksichtigt man nur den Aufnahmevorgang, lässt also den gleichzeitig erfolgenden Abbau von Koffein außer Acht, so kann die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g: t \mapsto k \cdot (1 - \mathrm{e}^{b \cdot t})$ mit $k \in \mathbb{R}^+$ und $b \in \mathbb{R}$ beschrieben werden. Dabei ist $g(t)$ die Koffeinkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$ und $t$ die Zeit in Minuten, die seit Beginn der Beobachtung dieser Konzentration vergangen ist.

Im Folgenden soll angenommen werden, dass die Blutmenge konstant 5 Liter beträgt und insgesamt 100 mg Koffein ins Blut aufgenommen werden.

Der folgenden Tabelle können Koffeinkonzentrationen entnommen werden, die sich aus einer Messung ergeben, wenn man den Abbauvorgang außer Acht lässt:

seit Beginn der Beobachtung vergangene Zeit in Minuten · 0 · 15 · 30 · 45

Koffeinkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$ · 0 · 0,0127 · 0,0173 · 0,0190

Sollen Messwerte mithilfe einer Funktion möglichst gut beschrieben werden, so wird die Funktion häufig so gewählt, dass die Summe der quadrierten Differenzen der Funktionswerte und der Messwerte möglichst klein ist. In der Abbildung 1 sind Differenzen von Funktionswerten und Messwerten beispielhaft in Form von Strecken veranschaulicht.

Gemeinsame Untersuchung des Aufnahme- und Abbauvorgangs

Eine Person, in deren Körper kein Koffein enthalten ist, trinkt ein koffeinhaltiges Getränk. Berücksichtigt man nun sowohl den Aufnahmevorgang als auch den Abbauvorgang, so wird die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration im Blut mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h: t \mapsto 0{,}010 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}003 \cdot t} \cdot (1 - \mathrm{e}^{-0{,}07 \cdot t})$ beschrieben. Dabei ist $h(t)$ die Koffeinkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$ und $t$ die Zeit in Minuten, die seit dem Einsetzen des Aufnahmevorgangs vergangen ist. Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von $h$.

c

Weisen Sie nach, dass $g'(t)$ proportional zur Differenz von $k$ und $g(t)$ ist. [3 BE]

f

Der folgenden Tabelle können Koffeinkonzentrationen entnommen werden, die sich aus einer Messung ergeben, wenn man den Abbauvorgang außer Acht lässt:

seit Beginn der Beobachtung vergangene Zeit in Minuten

0

15

30

45

Koffeinkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$

0

0,0127

0,0173

0,0190

Sollen Messwerte mithilfe einer Funktion möglichst gut beschrieben werden, so wird die Funktion häufig so gewählt, dass die Summe der quadrierten Differenzen der Funktionswerte und der Messwerte möglichst klein ist. In der Abbildung 1 sind Differenzen von Funktionswerten und Messwerten beispielhaft in Form von Strecken veranschaulicht.

Geben Sie einen Grund dafür an, dass es bei dieser Methode sinnvoll ist, nicht die Differenzen selbst, sondern deren Quadrate zu verwenden. Bestimmen Sie mithilfe der beschriebenen Methode den passenden Wert von $b$. [5 BE]

g

Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die höchste Koffeinkonzentration erreicht wird, und geben Sie diese Konzentration an. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Koffeinkonzentration am stärksten abnimmt, und veranschaulichen Sie die zugehörige Abnahmerate in der Abbildung 2. [5 BE]

h

Untersuchen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Änderungsrate der Koffeinkonzentration maximal ist, und geben Sie das Maximum an. [4 BE]

Trinkt man ein koffeinhaltiges Getränk (z. B. Kaffee, Cola, Energydrink), so wird darin enthaltenes Koffein vom Körper ins Blut aufgenommen und dort kontinuierlich wieder abgebaut. Im Folgenden werden der Aufnahmevorgang und der Abbauvorgang zunächst gesondert und erst anschließend gemeinsam untersucht.

Untersuchung des Abbauvorgangs

Zur gesonderten Untersuchung des Abbauvorgangs soll davon ausgegangen werden, dass die Aufnahme von Koffein ins Blut bereits abgeschlossen ist und die Konzentration des Koffeins im Blut innerhalb von jeweils 240 Minuten um die Hälfte abnimmt.

Unter diesen Voraussetzungen lässt sich die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: t \mapsto c \cdot \mathrm{e}^{a \cdot t}$ mit $a \in \mathbb{R}$ und $c \in \mathbb{R}^+$ beschreiben. Dabei ist $f(t)$ die Koffeinkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$ und $t$ die Zeit in Minuten, die seit Beginn der Beobachtung dieser Konzentration vergangen ist.

Untersuchung des Aufnahmevorgangs

Berücksichtigt man nur den Aufnahmevorgang, lässt also den gleichzeitig erfolgenden Abbau von Koffein außer Acht, so kann die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g: t \mapsto k \cdot (1 - \mathrm{e}^{b \cdot t})$ mit $k \in \mathbb{R}^+$ und $b \in \mathbb{R}$ beschrieben werden. Dabei ist $g(t)$ die Koffeinkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$ und $t$ die Zeit in Minuten, die seit Beginn der Beobachtung dieser Konzentration vergangen ist.

Im Folgenden soll angenommen werden, dass die Blutmenge konstant 5 Liter beträgt und insgesamt 100 mg Koffein ins Blut aufgenommen werden.

Der folgenden Tabelle können Koffeinkonzentrationen entnommen werden, die sich aus einer Messung ergeben, wenn man den Abbauvorgang außer Acht lässt:

seit Beginn der Beobachtung vergangene Zeit in Minuten · 0 · 15 · 30 · 45

Koffeinkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$ · 0 · 0,0127 · 0,0173 · 0,0190

Sollen Messwerte mithilfe einer Funktion möglichst gut beschrieben werden, so wird die Funktion häufig so gewählt, dass die Summe der quadrierten Differenzen der Funktionswerte und der Messwerte möglichst klein ist. In der Abbildung 1 sind Differenzen von Funktionswerten und Messwerten beispielhaft in Form von Strecken veranschaulicht.

Gemeinsame Untersuchung des Aufnahme- und Abbauvorgangs

Eine Person, in deren Körper kein Koffein enthalten ist, trinkt ein koffeinhaltiges Getränk. Berücksichtigt man nun sowohl den Aufnahmevorgang als auch den Abbauvorgang, so wird die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration im Blut mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h: t \mapsto 0{,}010 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}003 \cdot t} \cdot (1 - \mathrm{e}^{-0{,}07 \cdot t})$ beschrieben. Dabei ist $h(t)$ die Koffeinkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$ und $t$ die Zeit in Minuten, die seit dem Einsetzen des Aufnahmevorgangs vergangen ist. Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von $h$.

j

Berechnen Sie denjenigen Wert von $a \in \mathbb{R}^+$, für den der Inhalt der Fläche, die der Graph von $h$ mit der $t$-Achse und der Gerade mit der Gleichung $t = a$ einschließt, $0{,}7$ beträgt. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Der Inhalt der betrachteten Fläche entspricht der Koffeinmenge, die im zugehörigen Zeitraum insgesamt ins Blut aufgenommen wird.

2 Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_q: x \mapsto \sin(q \cdot x)$ mit $q \in \mathbb{R}^+$.

Die Abbildung 3 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}^+$ definierten Funktion $w: q \mapsto \int_0^\pi f_q(x)\,\mathrm{d}x$. Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen von $w$ liegt jeweils genau ein Maximum.

a)

Geben Sie zwei verschiedene Werte von $q$ an, für die das Dreifache, aber nicht das Vierfache der kleinsten Periode von $f_q$ kleiner als $\pi$ ist.

b)

Bestimmen Sie den kleinsten Wert von $q$, für den $f_q(x) = f_q\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt.

2 Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_q: x \mapsto \sin(q \cdot x)$ mit $q \in \mathbb{R}^+$.

Die Abbildung 3 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}^+$ definierten Funktion $w: q \mapsto \int_0^\pi f_q(x)\,\mathrm{d}x$. Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen von $w$ liegt jeweils genau ein Maximum.

c)

Geben Sie für $q = \pi$ zwei Möglichkeiten für die Werte von $a, b \in \mathbb{R}^+$ mit $a \ne b$ an, sodass jeweils $\int_a^b f_q(x)\,\mathrm{d}x = 0$ gilt.

$a_1 =$

$b_1 =$

$a_2 =$

$b_2 =$

d)

Geben Sie die Lösungen der Gleichung $w(q) = \frac{1}{2}$ an.

$q_1 \approx$

$q_2 \approx$

$q_3 \approx$

$q_4 \approx$

e)

Begründen Sie, dass die beiden folgenden Aussagen richtig sind:

I Zwei beliebige aufeinanderfolgende Nullstellen von $w$ haben den Abstand 2.

II Es gilt $0 \le w(q) \le \frac{2}{q}$.

f)

Begründen Sie, dass die Gleichung $w(q) = r$ für jede positive reelle Zahl $r$ entweder keine Lösung oder endlich viele Lösungen hat.

Ein Staubecken, das insgesamt $100\,000\text{ m}^3$ Wasser aufnehmen kann, enthielt um 12:00 Uhr eines bestimmten Tages $88\,000\text{ m}^3$ Wasser. Der Tabelle können Zufluss- und Abflussraten entnommen werden, die an diesem Tag zu bestimmten Zeitpunkten für das Wasser im Becken gemessen wurden:

Uhrzeit · 12:00 · 13:00 · 14:00 · 15:00 · 16:00 · 17:00 · 18:00

Zuflussrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ · 4,07 · 5,56 · 7,30 · 5,04 · 1,75 · 0,38 · 0,46

Abflussrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ · 1,02 · 0,98 · 3,50 · 5,00 · 5,50 · 5,00 · 3,50

Die zeitliche Entwicklung der momentanen Änderungsrate des Volumens des Wassers im Becken kann für den Zeitraum von 12:00 Uhr bis 18:00 Uhr modellhaft mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = (3 - x) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}x^2 + x}$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die seit 12:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$.

Im verwendeten Modell, in dem $x$ die seit 12:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate des Wasservolumens ist, gilt:

Für den Zeitraum zwischen 12:00 Uhr und 13:00 Uhr kann die momentane Abflussrate mit $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ als konstant angenommen werden.

Für den Zeitraum zwischen 13:00 Uhr und 18:00 Uhr lässt sich die zeitliche Entwicklung der momentanen Abflussrate mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $s$ mit $s(x) = -0{,}5x^2 + 4x - 2{,}5$ beschreiben. Dabei ist $s(x)$ die momentane Abflussrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$.

a)

Geben Sie nur anhand der gegebenen Messwerte die beiden betrachteten Zeitpunkte an, zwischen denen das Wasservolumen offenbar durchgehend zunahm. Begründen Sie Ihre Angabe.

Von:

Uhr bis:

Uhr

b)

Zeigen Sie, dass die Funktion $f$ für 12:00 Uhr und 16:00 Uhr Änderungsraten liefert, die von den Änderungsraten, die sich für diese Zeitpunkte aus den Messwerten ergeben, um weniger als $2\,\%$ abweichen.

Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt, zu dem die Änderungsrate $2500\,\frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{h}}$ betrug.

Ein Staubecken, das insgesamt $100\,000\text{ m}^3$ Wasser aufnehmen kann, enthielt um 12:00 Uhr eines bestimmten Tages $88\,000\text{ m}^3$ Wasser. Der Tabelle können Zufluss- und Abflussraten entnommen werden, die an diesem Tag zu bestimmten Zeitpunkten für das Wasser im Becken gemessen wurden:

Uhrzeit · 12:00 · 13:00 · 14:00 · 15:00 · 16:00 · 17:00 · 18:00

Zuflussrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ · 4,07 · 5,56 · 7,30 · 5,04 · 1,75 · 0,38 · 0,46

Abflussrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ · 1,02 · 0,98 · 3,50 · 5,00 · 5,50 · 5,00 · 3,50

Die zeitliche Entwicklung der momentanen Änderungsrate des Volumens des Wassers im Becken kann für den Zeitraum von 12:00 Uhr bis 18:00 Uhr modellhaft mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = (3 - x) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}x^2 + x}$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die seit 12:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$.

Im verwendeten Modell, in dem $x$ die seit 12:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate des Wasservolumens ist, gilt:

Für den Zeitraum zwischen 12:00 Uhr und 13:00 Uhr kann die momentane Abflussrate mit $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ als konstant angenommen werden.

Für den Zeitraum zwischen 13:00 Uhr und 18:00 Uhr lässt sich die zeitliche Entwicklung der momentanen Abflussrate mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $s$ mit $s(x) = -0{,}5x^2 + 4x - 2{,}5$ beschreiben. Dabei ist $s(x)$ die momentane Abflussrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$.

c)

Geben Sie für den Zeitraum von 12:00 Uhr bis 18:00 Uhr auf der Grundlage des Modells an,

&bull; zu welchem Zeitpunkt das Wasservolumen am stärksten zunahm,

&bull; zu welchem Zeitpunkt sich die größte Menge Wasser im Becken befand.

Begründen Sie jeweils Ihre Angabe.

Ein Staubecken, das insgesamt $100\,000\text{ m}^3$ Wasser aufnehmen kann, enthielt um 12:00 Uhr eines bestimmten Tages $88\,000\text{ m}^3$ Wasser. Der Tabelle können Zufluss- und Abflussraten entnommen werden, die an diesem Tag zu bestimmten Zeitpunkten für das Wasser im Becken gemessen wurden:

Uhrzeit · 12:00 · 13:00 · 14:00 · 15:00 · 16:00 · 17:00 · 18:00

Zuflussrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ · 4,07 · 5,56 · 7,30 · 5,04 · 1,75 · 0,38 · 0,46

Abflussrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ · 1,02 · 0,98 · 3,50 · 5,00 · 5,50 · 5,00 · 3,50

Die zeitliche Entwicklung der momentanen Änderungsrate des Volumens des Wassers im Becken kann für den Zeitraum von 12:00 Uhr bis 18:00 Uhr modellhaft mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = (3 - x) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}x^2 + x}$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die seit 12:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$.

Im verwendeten Modell, in dem $x$ die seit 12:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate des Wasservolumens ist, gilt:

Für den Zeitraum zwischen 12:00 Uhr und 13:00 Uhr kann die momentane Abflussrate mit $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ als konstant angenommen werden.

Für den Zeitraum zwischen 13:00 Uhr und 18:00 Uhr lässt sich die zeitliche Entwicklung der momentanen Abflussrate mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $s$ mit $s(x) = -0{,}5x^2 + 4x - 2{,}5$ beschreiben. Dabei ist $s(x)$ die momentane Abflussrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$.

d)

Berechnen Sie für den Zeitraum zwischen 12:00 Uhr und 18:00 Uhr auf der Grundlage des Modells, wie viel Wasser aus dem Becken abfloss und wie viel Wasser zufloss.

e)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem das Aufnahmevermögen des Beckens überschritten worden wäre, wenn sich die momentane Abflussrate von 13:30 Uhr an nicht mehr verändert hätte.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $g_t$ mit $g_t(x) = (x - 3) \cdot \left(x^2 - t \cdot x - \frac{1}{2}\right)$ und $t \in \mathbb{R}$. Der Graph von $g_t$ wird mit $G_t$ bezeichnet. Die Abbildung zeigt $G_1$.

b)

Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte, durch die alle Graphen der Schar verlaufen.

f)

Geben Sie die Lösungsmenge der Gleichung $g_6(3-x) + g_6(3+x) = 0$ an und beschreiben Sie die geometrische Bedeutung der Gleichung.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $g_t$ mit $g_t(x) = (x - 3) \cdot \left(x^2 - t \cdot x - \frac{1}{2}\right)$ und $t \in \mathbb{R}$. Der Graph von $g_t$ wird mit $G_t$ bezeichnet. Die Abbildung zeigt $G_1$.

a)

Geben Sie für $G_6$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die Koordinaten der Extrempunkte an. Skizzieren Sie $G_6$ in der Abbildung.

c)

Zeigen Sie, dass $G_t$ für jeden Wert von $t$ genau zwei Extrempunkte hat.

d)

Ermitteln Sie alle Werte von $t$, für die der Wendepunkt von $G_t$ auf einer Koordinatenachse liegt.

e)

Für alle Graphen der Schar wird jeweils die Tangente im Wendepunkt betrachtet. Jede dieser Tangenten schließt mit der x-Achse einen Winkel ein. Bestimmen Sie die Größe des kleinsten dieser Winkel.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $g_t$ mit $g_t(x) = (x - 3) \cdot \left(x^2 - t \cdot x - \frac{1}{2}\right)$ und $t \in \mathbb{R}$. Der Graph von $g_t$ wird mit $G_t$ bezeichnet. Die Abbildung zeigt $G_1$.

g

$G_6$ schließt für $0 \leq x \leq 3$ ein Flächenstück mit der x-Achse und der Gerade $x = 0$ ein, für $3 \leq x \leq 6$ ein Flächenstück mit der x-Achse und der Gerade $x = 6$. Rotieren diese beiden Flächenstücke um die x-Achse, so entstehen zwei Körper. Bestimmen Sie die Volumina der beiden Körper.

h

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Rotieren zwei Flächenstücke gleichen Inhalts um die x-Achse, so stimmen die Volumina der beiden entstehenden Körper überein.