Aufgabe 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2019

Ein Staubecken, das insgesamt $100\,000\text{ m}^3$ Wasser aufnehmen kann, enthielt um 12:00 Uhr eines bestimmten Tages $88\,000\text{ m}^3$ Wasser. Der Tabelle können Zufluss- und Abflussraten entnommen werden, die an diesem Tag zu bestimmten Zeitpunkten für das Wasser im Becken gemessen wurden:

Uhrzeit · 12:00 · 13:00 · 14:00 · 15:00 · 16:00 · 17:00 · 18:00

Zuflussrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ · 4,07 · 5,56 · 7,30 · 5,04 · 1,75 · 0,38 · 0,46

Abflussrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ · 1,02 · 0,98 · 3,50 · 5,00 · 5,50 · 5,00 · 3,50

Die zeitliche Entwicklung der momentanen Änderungsrate des Volumens des Wassers im Becken kann für den Zeitraum von 12:00 Uhr bis 18:00 Uhr modellhaft mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = (3 - x) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}x^2 + x}$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die seit 12:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$.

Im verwendeten Modell, in dem $x$ die seit 12:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate des Wasservolumens ist, gilt:

Für den Zeitraum zwischen 12:00 Uhr und 13:00 Uhr kann die momentane Abflussrate mit $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ als konstant angenommen werden.

Für den Zeitraum zwischen 13:00 Uhr und 18:00 Uhr lässt sich die zeitliche Entwicklung der momentanen Abflussrate mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $s$ mit $s(x) = -0{,}5x^2 + 4x - 2{,}5$ beschreiben. Dabei ist $s(x)$ die momentane Abflussrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$.

a)

Geben Sie nur anhand der gegebenen Messwerte die beiden betrachteten Zeitpunkte an, zwischen denen das Wasservolumen offenbar durchgehend zunahm. Begründen Sie Ihre Angabe.

Von:

Uhr bis:

Uhr

b)

Zeigen Sie, dass die Funktion $f$ für 12:00 Uhr und 16:00 Uhr Änderungsraten liefert, die von den Änderungsraten, die sich für diese Zeitpunkte aus den Messwerten ergeben, um weniger als $2\,\%$ abweichen.

Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt, zu dem die Änderungsrate $2500\,\frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{h}}$ betrug.