Aufgabe 2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2019

a Skizzieren Sie $G_6$ in der Abbildung.

Lösung: Skizze von $G_6$ mit Hochpunkt bei $(1 \mid 16)$, Tiefpunkt bei $(5 \mid -16)$, Wendepunkt bei $(3 \mid 0)$, Nullstellen bei $3-2\sqrt{3} \approx -0{,}46$, $3$ und $3+2\sqrt{3} \approx 6{,}46$, sowie y-Achsenabschnitt bei $(0 \mid 9)$.

a Geben Sie für $G_6$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen an.

Lösung: $(3-2\sqrt{3} \mid 0)$, $(3 \mid 0)$, $(3+2\sqrt{3} \mid 0)$

a Schnittpunkt mit der y-Achse:

Lösung: $(0 \mid 9)$

a sowie die Koordinaten der Extrempunkte an.

Lösung: $(1 \mid 16)$, $(5 \mid -16)$

c Zeigen Sie, dass $G_t$ für jeden Wert von $t$ genau zwei Extrempunkte hat.

Lösung: Die Gleichung $g_t'(x) = 0$ hat wegen $2t^2 - 3t + 18 \neq 0$ für alle $t \in \mathbb{R}$ zwei verschiedene Lösungen $x_1$ und $x_2$ mit $g_t''(x_1) \neq 0$ und $g_t''(x_2) \neq 0$.

d Ermitteln Sie alle Werte von $t$, für die der Wendepunkt von $G_t$ auf einer Koordinatenachse liegt.

Lösung: $t = -3$, $t = -\frac{3}{8}\cdot(\sqrt{57}+5)$, $t = \frac{3}{8}\cdot(\sqrt{57}-5)$, $t = 6$

e Bestimmen Sie die Größe des kleinsten dieser Winkel.

Lösung: $70{,}4^\circ$ / $70{,}4$ °