Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2019

Trinkt man ein koffeinhaltiges Getränk (z. B. Kaffee, Cola, Energydrink), so wird darin enthaltenes Koffein vom Körper ins Blut aufgenommen und dort kontinuierlich wieder abgebaut. Im Folgenden werden der Aufnahmevorgang und der Abbauvorgang zunächst gesondert und erst anschließend gemeinsam untersucht.

Untersuchung des Abbauvorgangs

Zur gesonderten Untersuchung des Abbauvorgangs soll davon ausgegangen werden, dass die Aufnahme von Koffein ins Blut bereits abgeschlossen ist und die Konzentration des Koffeins im Blut innerhalb von jeweils 240 Minuten um die Hälfte abnimmt.

Unter diesen Voraussetzungen lässt sich die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: t \mapsto c \cdot \mathrm{e}^{a \cdot t}$ mit $a \in \mathbb{R}$ und $c \in \mathbb{R}^+$ beschreiben. Dabei ist $f(t)$ die Koffeinkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$ und $t$ die Zeit in Minuten, die seit Beginn der Beobachtung dieser Konzentration vergangen ist.

Untersuchung des Aufnahmevorgangs

Berücksichtigt man nur den Aufnahmevorgang, lässt also den gleichzeitig erfolgenden Abbau von Koffein außer Acht, so kann die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g: t \mapsto k \cdot (1 - \mathrm{e}^{b \cdot t})$ mit $k \in \mathbb{R}^+$ und $b \in \mathbb{R}$ beschrieben werden. Dabei ist $g(t)$ die Koffeinkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$ und $t$ die Zeit in Minuten, die seit Beginn der Beobachtung dieser Konzentration vergangen ist.

Im Folgenden soll angenommen werden, dass die Blutmenge konstant 5 Liter beträgt und insgesamt 100 mg Koffein ins Blut aufgenommen werden.

Der folgenden Tabelle können Koffeinkonzentrationen entnommen werden, die sich aus einer Messung ergeben, wenn man den Abbauvorgang außer Acht lässt:

seit Beginn der Beobachtung vergangene Zeit in Minuten · 0 · 15 · 30 · 45

Koffeinkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$ · 0 · 0,0127 · 0,0173 · 0,0190

Sollen Messwerte mithilfe einer Funktion möglichst gut beschrieben werden, so wird die Funktion häufig so gewählt, dass die Summe der quadrierten Differenzen der Funktionswerte und der Messwerte möglichst klein ist. In der Abbildung 1 sind Differenzen von Funktionswerten und Messwerten beispielhaft in Form von Strecken veranschaulicht.

Gemeinsame Untersuchung des Aufnahme- und Abbauvorgangs

Eine Person, in deren Körper kein Koffein enthalten ist, trinkt ein koffeinhaltiges Getränk. Berücksichtigt man nun sowohl den Aufnahmevorgang als auch den Abbauvorgang, so wird die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration im Blut mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h: t \mapsto 0{,}010 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}003 \cdot t} \cdot (1 - \mathrm{e}^{-0{,}07 \cdot t})$ beschrieben. Dabei ist $h(t)$ die Koffeinkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$ und $t$ die Zeit in Minuten, die seit dem Einsetzen des Aufnahmevorgangs vergangen ist. Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von $h$.

c

Weisen Sie nach, dass $g'(t)$ proportional zur Differenz von $k$ und $g(t)$ ist. [3 BE]

f

Der folgenden Tabelle können Koffeinkonzentrationen entnommen werden, die sich aus einer Messung ergeben, wenn man den Abbauvorgang außer Acht lässt:

seit Beginn der Beobachtung vergangene Zeit in Minuten

0

15

30

45

Koffeinkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{ml}}$

0

0,0127

0,0173

0,0190

Sollen Messwerte mithilfe einer Funktion möglichst gut beschrieben werden, so wird die Funktion häufig so gewählt, dass die Summe der quadrierten Differenzen der Funktionswerte und der Messwerte möglichst klein ist. In der Abbildung 1 sind Differenzen von Funktionswerten und Messwerten beispielhaft in Form von Strecken veranschaulicht.

Geben Sie einen Grund dafür an, dass es bei dieser Methode sinnvoll ist, nicht die Differenzen selbst, sondern deren Quadrate zu verwenden. Bestimmen Sie mithilfe der beschriebenen Methode den passenden Wert von $b$. [5 BE]

g

Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die höchste Koffeinkonzentration erreicht wird, und geben Sie diese Konzentration an. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Koffeinkonzentration am stärksten abnimmt, und veranschaulichen Sie die zugehörige Abnahmerate in der Abbildung 2. [5 BE]

h

Untersuchen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Änderungsrate der Koffeinkonzentration maximal ist, und geben Sie das Maximum an. [4 BE]