Aufgabe 2: Elektronenbeugung · Abitur NRW Physik LK · Nachtermin 2022

Aufgabenstellung: Aufgabe: Elektronenbeugung

Durch das Experiment zur Elektronenbeugung lässt sich eine Welleneigenschaft von Elektronen belegen.

Teilaufgabe 1: Materiewellen

a)

Geben Sie zwei Eigenschaften von Elektronen an, die den Teilchencharakter von Elektronen zeigen.

1923 veröffentlichte der französische Physiker Louis De Broglie seine Gedanken über die Wellentheorie von Teilchen. Er fasste Teilchen in Bewegung jeweils als eine Materiewelle auf und ordnete ihnen eine Wellenlänge zu, sodass es ihnen möglich ist, Welleneigenschaften zu zeigen.

De Broglie ordnete den Materiewellen die Wellenlänge $\lambda = \frac{h}{p}$ zu, wobei $h$ das Planck'sche Wirkungsquantum und $p$ der Impuls der Teilchen ist.

b)

Zeigen Sie, dass Elektronen der Geschwindigkeit $v = 4{,}19 \cdot 10^7\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ eine Materiewellenlänge $\lambda$ von ungefähr $17\,\text{pm}$ besitzen.

c)

Leiten Sie aus der Gleichung $E = h \cdot f$ für die Energie von Photonen der Frequenz $f$ die Gleichung $p = \frac{h}{\lambda}$ für den Photonenimpuls $p$ her. Nutzen Sie dazu die relativistische Beziehung $E = m \cdot c^2$ zwischen Energie $E$, Masse $m$ und Lichtgeschwindigkeit $c$.

Teilaufgabe 2: Elektronenbeugung

Teilaufgabe 1b) hat gezeigt, dass die Materiewellenlänge von Elektronen vergleichsweise sehr klein sein kann. Aus diesem Grund benötigt man Gitter mit sehr kleinen Gitterkonstanten, um die Materiewellenlänge der Elektronen experimentell bestimmen zu können. Deshalb verwendet man beispielsweise Kristalle. Die konstruktive Interferenz der Materiewellen kann hierbei mit dem Prinzip der Bragg-Reflexion beschrieben werden (siehe Abbildung 1).

a)

• Erläutern Sie anhand von Abbildung 1, wie bei der Bragg-Reflexion konstruktive Interferenz von Materiewellen zustande kommt.

• Leiten Sie anhand von Abbildung 1 die Bragg-Gleichung $2 \cdot d \cdot \sin\vartheta = n \cdot \lambda$ her. Hierbei bezeichnet $d$ den Netzebenenabstand, $\vartheta$ den Glanzwinkel und $n$ die Ordnung des Maximums.

Abbildung 2 zeigt die Geometrie einer Anordnung, bei der die Elektronen nach der Bragg-Reflexion auf einem Leuchtschirm nachgewiesen werden können.

b)

Begründen Sie anhand von Abbildung 2, dass sich der Winkel $\vartheta$ zwischen Elektronenstrahl und Kristall (Glanzwinkel) mit folgender Gleichung berechnen lässt: $$\sin 2\vartheta = \frac{r}{D}$$ Dabei bezeichnet $r$ den Radius des Beugungsrings auf dem Beobachtungsschirm und $D$ den Abstand zwischen Kristall und Beobachtungsschirm.

c)

Erläutern Sie, auf welche Weise sich mit der Bragg-Gleichung und der Gleichung aus b) die Materiewellenlänge $\lambda$ der Elektronen bestimmen lässt.

Teilaufgabe 3: Bestimmung der Materiewellenlänge in der Elektronenbeugungsröhre

Die folgende Abbildung 3 zeigt schematisch den Aufbau und ein Foto der Elektronenbeugungsröhre mit der Spannungsversorgung.

a)

Beschreiben Sie anhand von Abbildung 3, wie die Elektronenbeugungsröhre im Versuch aufgebaut ist.

b)

Die Elektronen werden mithilfe der Beschleunigungsspannung $U_B$ beschleunigt. Zeigen Sie, dass sich die Geschwindigkeit $v$ der Elektronen ohne Berücksichtigung relativistischer Effekte durch $$v = \sqrt{2 \cdot \frac{e}{m} \cdot U_B}$$ bestimmen lässt. Dabei sind $e$ die Ladung und $m$ die Masse des Elektrons.

c)

Berechnen Sie die Geschwindigkeit $v$ von Elektronen nach klassischer Rechnung, wenn sie durch eine Spannung von $U_B = 5{,}00\,\text{kV}$ beschleunigt wurden.

In Abbildung 4 sind zwei Negativ-Aufnahmen von Interferenzringen auf dem Fluoreszenzschirm gezeigt, die bei unterschiedlichen Beschleunigungsspannungen $U_B$ aufgenommen wurden. Das weiÑe Raster und das weiÑe Viereck in den Aufnahmen entsteht durch Aufkleber auf der Elektronenbeugungsröhre von auÑen.

d)

• Beschreiben Sie die in Abbildung 4 dargestellten Interferenzbilder.

• Beschreiben Sie, wie man experimentell zeigen kann, dass die Interferenzringe durch einen Elektronenstrahl und nicht durch Röntgenstrahlung erzeugt werden.

In Abbildung 4 erkennt man, dass das Interferenzbild der Elektronen bei der Elektronenbeugungsröhre ringförmig ist. Entscheidend dafür ist die Tatsache, dass man eine Folie aus Graphitpulver (polykristallin) verwendet, also sehr viele unterschiedlich ausgerichtete Kristalle (Kristallite). Abbildung 5 verdeutlicht dies.

• Erläutern Sie anhand von Abbildung 5, wie die Ringe auf dem Beobachtungsschirm entstehen.

• Entscheiden Sie, ob die Beschleunigungsspannung $U_B$ der Elektronen in Abbildung 4 (b) größer oder kleiner ist als der Wert $5{,}00\,\text{kV}$ in Abbildung 4 (a).

Bei der Bestimmung der Materiewellenlänge muss man berücksichtigen, dass es bei Graphitpulver wegen der Kristallstruktur zwei unterschiedliche Netzebenenabstände gibt. Bei Graphit betragen diese $d_1 = 213\,\text{pm}$ und $d_2 = 123\,\text{pm}$. Bei der verwendeten Anordnung beträgt der Abstand des Leuchtschirms von der Graphitfolie $D = 12{,}7\,\text{cm}$. Die eingestellte Beschleunigungsspannung beträgt $U_B = 5{,}00\,\text{kV}$. Beide Interferenzringe in Abbildung 6 sind der Ordnung $n = 1$ zuzuordnen.

e)

• Begründen Sie, welcher Interferenzring zu welchem Netzebenenabstand $d_1 = 213\,\text{pm}$ bzw. $d_2 = 123\,\text{pm}$ gehört.

• Bestimmen Sie anhand von Abbildung 6 die Materiewellenlänge $\lambda$ der eingesetzten Elektronen.

• Berechnen Sie die relative Abweichung Ihrer bestimmten Materiewellenlänge $\lambda$ vom Wert, den die De-Broglie-Gleichung $\lambda = \frac{h}{p} = 17\,\text{pm}$ liefert.

• Berechnen Sie die Radien der zwei Interferenzringe zur Ordnung $n = 2$.

%

Teilaufgabe 4: Interferenz von Materie am Doppelspalt

Heute ist man in der Lage, nicht nur mit Elektronen Interferenzbilder zu erzeugen. Abbildung 7 zeigt den zeitlichen Aufbau eines Interferenzmusters aus einzeln nachgewiesenen Heliumatomen am Doppelspalt.

a)

Beschreiben Sie, wie sich die Beobachtungen in Abbildung 7 mit der Zeit verändern.

b)

Erläutern Sie anhand von Abbildung 7, weshalb weder ein reines Teilchenmodell noch ein reines Wellenmodell das Verhalten der Heliumatome am Doppelspalt richtig beschreiben.