Aufgabe 3 · Abitur NRW Physik GK · Nachtermin 2021

Thema: Geladene Teilchen in elektrischen und magnetischen Feldern · Aus der Prüfung GK · Nachtermin (2021)

Aufgabenstellung

Aufgabe 3: Überlegungen rund um das Schlüsselexperiment „Fadenstrahlrohr“

a)

Eine Hallsonde misst in der Mitte des Helmholtzspulenpaares die Stärke BB des Magnetfeldes, und zwar abhängig von der Stromstärke ISpI_{\text{Sp}} in den Spulen (vgl. Abbildung 1).

Dabei werden die folgenden Messwerte erhalten:

ISpI_{\text{Sp}} in A · 0,0 · 0,5 · 1,0 · 1,5 · 2,0 · 2,5 · 3,0

BB in mT · 0,00 · 0,35 · 0,65 · 0,98 · 1,34 · 1,62 · 2,05

1. Zeigen Sie unter Verwendung aller Messwerte, dass BB näherungsweise proportional zur Stromstärke ISpI_{\text{Sp}} durch die Spulen ist.

2. Bestimmen Sie den Proportionalitätsfaktor einschließlich seiner Einheit:

3. Bestimmen Sie die Spulenstromstärke ISp,1I_{\text{Sp},1}, bei der das Magnetfeld die Stärke B1=0,42 mTB_1 = 0{,}42\text{ mT} hat:

b)

Für das folgende Experiment wird das Fadenstrahlrohr (vgl. Abbildung 2) in das Helmholtzspulenpaar eingebracht.

Im Folgenden werden die Austrittsgeschwindigkeit vev_e der Elektronen aus der Elektronenkanone sowie Richtung und Stärke BB des Magnetfeldes stets so eingestellt, dass die Elektronen im Fadenstrahlrohr eine Kreisbahn mit dem Radius r=5,0 cmr = 5{,}0\text{ cm} durchlaufen.

1. Skizzieren Sie in Abbildung 2 die Kreisbahn der Elektronen im homogenen Magnetfeld und geben Sie beispielhaft für ein beliebiges Elektron die momentane Bewegungsrichtung, die Richtung der Lorentzkraft sowie die Richtung des Magnetfeldes an:

2. Zeigen Sie, dass unter den genannten Bedingungen zwischen vev_e und BB der folgende Zusammenhang gilt: ve=em⋅(5,0 cm)⋅Bv_e = \frac{e}{m} \cdot (5{,}0\text{ cm}) \cdot B.

3. Berechnen Sie die Magnetfeldstärke BB bei einer Elektronengeschwindigkeit von ve=3,69⋅106 msv_e = 3{,}69 \cdot 10^6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}:

c)

Die für dieses Experiment nötigen Elektronen werden in einer Elektronenkanone „erzeugt“ und dort auf die jeweils gewünschte Geschwindigkeit beschleunigt.

1. Geben Sie an, auf welche Weise die freien Elektronen in einer Elektronenkanone „erzeugt“ werden:

2. Zeigen Sie, dass ruhende Elektronen, um eine klassisch zu behandelnde Geschwindigkeit vev_e zu erreichen, die Spannung UB=m⋅ve22⋅eU_B = \frac{m \cdot v_e^2}{2 \cdot e} durchlaufen müssen:

3. Berechnen Sie die Beschleunigungsspannung UBU_B, wenn sich die Elektronen bei einer Magnetfeldstärke von B=1,42 mTB = 1{,}42\text{ mT} auf einer Kreisbahn mit r=5,0 cmr = 5{,}0\text{ cm} bewegen:

4. Berechnen Sie die kinetische Energie EkinE_{\text{kin}} von Elektronen nach dem Durchlaufen einer Beschleunigungsspannung von 770 V770\text{ V}:

d)

Platziert man einen Kurzwellenempfänger (Radio) neben dem Experiment, so hört man bei einer bestimmten Frequenz ff je nach Stärke BB des Magnetfeldes ein deutliches Rauschen. Abbildung 3 zeigt den Fall, in dem der Empfänger deutlich rauscht; der Bahnradius beträgt dabei r=5,0 cmr = 5{,}0\text{ cm}.

1. Zeigen Sie, dass für die Umlauffrequenz f=1Tf = \frac{1}{T} gilt: f=e⋅B2π⋅mf = \frac{e \cdot B}{2\pi \cdot m}:

2. Berechnen Sie die Umlauffrequenz der Elektronen in diesem Versuch (verwenden Sie dazu die Werte aus Abbildung 3 und Angaben aus den vorherigen Teilaufgaben):

3. Vergleichen Sie die berechnete Frequenz mit derjenigen, bei der das Radio „Rauschen“ empfängt:

4. Begründen Sie, dass sich aus der Form der idealen Bahnkurve keine Abnahme der Elektronenenergie ablesen lässt:

5. Skizzieren Sie in Abbildung 3 eine weitere Bahnkurve, die man erwarten würde, wenn die Elektronen entlang der Bahn deutlich Energie verlieren:

Aufgabenstellung: Aufgabe 3 · Abitur NRW Physik GK · Nachtermin 2021

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) 1. Zeigen Sie unter Verwendung aller Messwerte, dass B näherungsweise proportional zur Stromstärke Isp durch die Spulen ist.

Lösung: Quotientengleichheit B / Isp ≈ const. bzw. lineare Regression B(Isp) = 0,67 (mT/A) * Isp

a) 2. Bestimmen Sie den Proportionalitätsfaktor einschließlich seiner Einheit.

Lösung: 0,67 mT/A / 0,00067 T/A

a) 3. Bestimmen Sie die Spulenstromstärke Isp,1, bei der das Magnetfeld die Stärke B1 = 0,42 mT hat.

Lösung: 0,63 A / 630 mA

b) 1. Skizzieren Sie in Abbildung 2 die Kreisbahn der Elektronen im homogenen Magnetfeld und geben Sie beispielhaft für ein beliebiges Elektron die momentane Bewegungsrichtung, die Richtung der Lorentzkraft sowie die Richtung des Magnetfeldes an.

Lösung: Kreisförmige Bahnkurve mit Radius r=5,0 cmr = 5{,}0\text{ cm} (Durchmesser 10 cm10\text{ cm}), die tangential an der Austrittsöffnung der Elektronenkanone nach oben beginnt. An einem Punkt der Kreisbahn: Geschwindigkeitsvektor v⃗e\vec{v}_e tangential zur Bahn, Lorentzkraft F⃗L\vec{F}_L radial zum Kreismittelpunkt gerichtet, Magnetfeld B⃗\vec{B} senkrecht in die Zeichenebene hinein (Kreuz-Symbole ⊗\otimes).

b) 2. Zeigen Sie, dass unter den genannten Bedingungen zwischen ve und B der folgende Zusammenhang gilt: ve = e/m * (5,0 cm) * B.

Lösung: Gleichsetzen von Lorentzkraft und Zentripetalkraft: FL = FZ => e * ve * B = m * ve^2 / r => ve = (e/m) * r * B mit r = 5,0 cm

b) 3. Berechnen Sie die Magnetfeldstärke B bei einer Elektronengeschwindigkeit von ve = 3,69 * 10^6 m/s.

Lösung: 0,42 mT / 0,00042 T / 420 µT

c) 1. Geben Sie an, auf welche Weise die freien Elektronen in einer Elektronenkanone „erzeugt“ werden.

Lösung: Durch den glühelektrischen Effekt (thermische Emission) aus einem geheizten Glühdraht.

c) 2. Zeigen Sie, dass ruhende Elektronen, um eine klassisch zu behandelnde Geschwindigkeit ve zu erreichen, die Spannung UB = (m * ve^2) / (2 * e) durchlaufen müssen.

Lösung: Energieerhaltung: Wel = Ekin => e * UB = 1/2 * m * ve^2 => UB = (m * ve^2) / (2 * e)

c) 3. Berechnen Sie die Beschleunigungsspannung UB, wenn sich die Elektronen bei einer Magnetfeldstärke von B = 1,42 mT auf einer Kreisbahn mit r = 5,0 cm bewegen.

Lösung: 444 V / 0,444 kV

c) 4. Berechnen Sie die kinetische Energie Ekin in Joule von Elektronen nach dem Durchlaufen einer Beschleunigungsspannung von 770 V.

Lösung: 1,23 * 10^(-16) J / 1,23e-16 J

c) 4. Berechnen Sie die kinetische Energie Ekin in Elektronenvolt von Elektronen nach dem Durchlaufen einer Beschleunigungsspannung von 770 V.

Lösung: 770 eV / 0,77 keV

d) 1. Zeigen Sie, dass für die Umlauffrequenz f = 1/T gilt: f = (e * B) / (2π * m).

Lösung: ve = (e/m) * r * B und ve = omega * r = 2π * f * r => 2π * f * r = (e/m) * r * B => f = (e * B) / (2π * m)

d) 2. Berechnen Sie die Umlauffrequenz der Elektronen in diesem Versuch.

Lösung: 18,75 MHz / 1,88 * 10^7 Hz

d) 3. Vergleichen Sie die berechnete Frequenz mit derjenigen, bei der das Radio „Rauschen“ empfängt.

Lösung: Die berechnete Umlauffrequenz stimmt mit der am Radio eingestellten Empfangsfrequenz von 18,750 MHz überein.

d) 4. Begründen Sie, dass sich aus der Form der idealen Bahnkurve keine Abnahme der Elektronenenergie ablesen lässt.

Lösung: Die Bahnkurve ist kreisförmig mit konstantem Radius; daher muss die kinetische Energie der Elektronen nahezu konstant sein.

d) 5. Skizzieren Sie in Abbildung 3 eine weitere Bahnkurve, die man erwarten würde, wenn die Elektronen entlang der Bahn deutlich Energie verlieren.

Lösung: Eine nach innen spiralförmig verlaufende Bahnkurve (Spirale mit abnehmendem Bahnradius).

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