Aufgabe 1 - Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte W… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Stochastik (CAS)

Ein Pharmakonzern entwickelt ein Medikament zur Behandlung der Krankheit K. Für die Zusammensetzung des Medikaments kommen zwölf Wirkstoffe infrage. Mit einer Vielzahl möglicher Wirkstoffkombinationen werden Tests durchgeführt.

Nach Abschluss der Entwicklung bringt der Pharmakonzern das neue Medikament auf den Markt. Einer Studie zufolge beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte an K erkrankte Person durch das Medikament geheilt wird, 80 %.

Die Behandlung mit dem Medikament kann zu Nebenwirkungen führen. Im Rahmen einer Untersuchung zur Dauer der Nebenwirkungen wurden Personen, die mit dem Medikament behandelt wurden, dazu befragt, wie lange Nebenwirkungen nach Beendigung der Behandlung andauerten. Die folgende Tabelle fasst das Ergebnis der Befragung zusammen:

Dauer in Monaten · 0 · 1 · 2 · 3 · 4

Anteil der Personen in % · 5 · 15 · 45 · 30 · 5

Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass in einem Land 0,2 % der Bevölkerung an K erkrankt sind.

Zur Erkennung der Krankheit K kann ein Test durchgeführt werden. Ist eine Person an K erkrankt, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % positiv. Ist eine Person nicht an K erkrankt, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testergebnis irrtümlich positiv ist, 1 %.

a)

Bestimmen Sie die Anzahl der möglichen Wirkstoffkombinationen, die genau sieben der infrage kommenden Wirkstoffe enthalten.

b)

Bestimmen Sie die Anzahl der möglichen Wirkstoffkombinationen, die mindestens sieben der infrage kommenden Wirkstoffe enthalten.

Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass in einem Land 0,2 % der Bevölkerung an K erkrankt sind.

Zur Erkennung der Krankheit K kann ein Test durchgeführt werden. Ist eine Person an K erkrankt, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % positiv. Ist eine Person nicht an K erkrankt, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testergebnis irrtümlich positiv ist, 1 %.

f)

Erstellen Sie zum beschriebenen Test für das betrachtete Land eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.

$K$

$\overline{K}$

Summe

$T$

$\overline{T}$

Summe

g)

Für eine zufällig ausgewählte Person aus dem betrachteten Land ist das Testergebnis positiv. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person tatsächlich erkrankt ist, etwa 16,4 % beträgt. Begründen Sie, dass es bei einem positiven Testergebnis sinnvoll ist, nicht sofort mit einer Behandlung zu beginnen.