Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2021

Betrachtet werden die Pyramiden $\mathrm{ABCDS}_k$ mit $A(0|0|0)$, $B(2|0|0)$, $C(2|2|0)$, $D(0|2|0)$ und $S_k(1|1|k)$ mit $k \in {]1;+\infty[}$. Die gemeinsame Grundfläche $ABCD$ dieser Pyramiden ist quadratisch.

Die Abbildung zeigt beispielhaft eine dieser Pyramiden.

Der abgebildete Punkt $T$ ist der Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche $ABCD$.

Die Ebene mit der Gleichung $x_3 = 1$ schneidet die vier vom Punkt $S_k$ ausgehenden Kanten der Pyramide $\mathrm{ABCDS}_k$ in den Punkten $E_k$, $F_k$, $G_k$ und $H_k$ (vgl. Abbildung).

a)

Begründen Sie, dass jede der Pyramiden $\mathrm{ABCDS}_k$ gerade ist. Berechnen Sie den Inhalt der Mantelfläche der Pyramide $\mathrm{ABCDS}_k$.

b)

Begründen Sie, dass die Gleichung

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

mit $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ keine Symmetrieebene der Pyramide $\mathrm{ABCDS}_k$ beschreibt. Geben Sie für eine Symmetrieebene der Pyramide $\mathrm{ABCDS}_k$ eine Gleichung in Koordinatenform an.

d)

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $k$, für den die Seitenfläche $\mathrm{ABS}_k$ gegenüber der Grundfläche $\mathrm{ABCD}$ um einen Winkel der Größe $60^\circ$ geneigt ist.

e)

Der Mittelpunkt der Strecke $\overline{\mathrm{TS}_k}$ wird mit $\mathrm{Q}_k$ bezeichnet. Für einen Wert von $k$ ist $\mathrm{Q}_k$ von der Grundfläche $\mathrm{ABCD}$ dreimal so weit entfernt wie von jeder der vier Seitenflächen der Pyramide $\mathrm{ABCDS}_k$. Berechnen Sie diesen Wert von $k$.

g)

Bestimmen Sie diejenigen Werte von $k$, für die das Verhältnis des Volumens der Pyramide $\mathrm{E}_k\mathrm{F}_k\mathrm{G}_k\mathrm{H}_k\mathrm{T}$ zum Volumen der Pyramide $\mathrm{ABCDS}_k$ $1:8$ beträgt.