Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2021

a Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.

Lösung: $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{BC} = \begin{pmatrix} -10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, d. h. $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = 10$

b Begründen Sie, dass A, B und C Eckpunkte eines Quadrats sein können...

Lösung: Wegen $\vec{AB} \circ \vec{BC} = 0$ schließen die gleich langen Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ einen rechten Winkel ein.

...und geben Sie die Koordinaten des vierten Eckpunkts D dieses Quadrats an.

Lösung: $D(-5|-5|12)$

d Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Seitenfläche BCT mit der Fläche ABCD einschließt.

Lösung: $67{,}4^\circ$

h Veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch eine Skizze.

Lösung: Rechtwinkliges Dreieck in der $yz$-Projektion mit dem Winkel $90^\circ - \varphi$ bei $T$, der Hypotenuse der Länge $24$ bis zum gedrehten Punkt $S'$ und dem rechten Winkel zur $y$-Achse.

h Bestimmen Sie diese y-Koordinate.

Lösung: $22{,}2$

Skizze zur Veranschaulichung des Vorgehens:

Lösung: Skizze der gedrehten Pyramide mit der Fläche BCT in der xy-Ebene (oder Projektion entlang der x-Achse), Kennzeichnung des Abstands von S' zur Drehachse bzw. Drehwinkel und Höhe von S' über der xy-Ebene.