Aufgabe 1 (MMS 2) - Geraden und Ebenen: Gleichungen und L… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2026

In einem Koordinatensystem sind die Punkte $A(12|0|0)$, $B(0|12|0)$ und $C(0|0|6)$ die Schnittpunkte der Ebene $E$ mit den Koordinatenachsen. Sie sind die Eckpunkte des in Abbildung 1 dargestellten Dreiecks $ABC$.

Betrachtet wird zusätzlich die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$.

Betrachtet wird die Schar der Ebenen $E_m: x_1 + x_2 - m \cdot x_3 = 4 \cdot (1 - m)$ mit $m \in \mathbb{R}$. Jede Ebene dieser Schar entspricht einer Position, in die $E$ durch Drehung um die Gerade $g$ gebracht werden kann.

Betrachtet werden alle Dreiecke, bei denen die Eckpunkte auf drei verschiedenen Koordinatenachsen liegen. Bei solchen Dreiecken liegt jeder der drei Eckpunkte entweder auf dem positiven oder auf dem negativen Teil der zugehörigen Koordinatenachse. Dementsprechend unterscheidet man bei solchen Dreiecken zwischen acht verschiedenen Lagen; in Abbildung 2 sind zwei dieser Lagen dargestellt (Lage 1 und Lage 2).

b)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $x_1 + x_2 + 2x_3 = 12$)

c)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage falsch ist:

Für jeden Punkt $P(u|v|w)$ im Innern des Dreiecks $ABC$ gilt: Der Punkt $Q(u|w|v)$ liegt ebenfalls im Innern des Dreiecks $ABC$.

d)

Weisen Sie nach, dass die Gerade $g$ in der Ebene $E$ liegt.

f)

Für jeden Wert von $m$ mit $m \neq 0$ und $m \neq 1$ schneidet die Ebene $E_m$ die $x_1$-Achse im Punkt $A_m$, die $x_2$-Achse im Punkt $B_m$ und die $x_3$-Achse im Punkt $C_m$. Das Dreieck $A_mB_mC_m$ kann eine der beiden dargestellten Lagen annehmen, die andere nicht. Entscheiden Sie, welche der beiden Lagen nicht angenommen werden kann, und begründen Sie Ihre Entscheidung. Bestimmen Sie für die andere Lage alle zugehörigen Werte von $m$.

Lage 1

Lage 2