Aufgabe 1 (a, c) - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2026

Betrachtet wird das in Abbildung 1 dargestellte gerade Prisma $ABCDEF$ mit der dreieckigen Grundfläche $ABC$. Im verwendeten Koordinatensystem gilt: $A(10 \mid 0 \mid 0)$, $B(10 \mid 5 \mid 20)$, $C(10 \mid -5 \mid 20)$ und $D(0 \mid 0 \mid 0)$.

Das Prisma beschreibt einen Behälter, in den Wasser gefüllt werden kann. Die zugehörige Öffnung des Behälters wird durch das Viereck $BEFC$ dargestellt. Die $xy$-Ebene beschreibt die Horizontale. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Zentimeter in der Wirklichkeit. Die Materialstärke des Behälters wird im Folgenden vernachlässigt.

Im Behälter befindet sich Wasser, dessen Volumen halb so groß wie das Fassungsvermögen des Behälters ist. Der Behälter wird um eine Achse, die durch die Gerade $AD$ beschrieben wird, langsam um einen Winkel der Größe $120^\circ$ gedreht (vgl. Abbildung 2). Die Ausgangsposition entspricht einem Drehwinkel der Größe $0^\circ$.

Der in Abbildung 3 mit durchgezogener Linie dargestellte Graph beschreibt modellhaft das Volumen des Wassers im Behälter in Abhängigkeit von der Größe des Drehwinkels für den Bereich $[\alpha; \beta]$.

a

Begründen Sie, dass die Grundfläche ABC parallel zur yz-Ebene und symmetrisch bezüglich der xz-Ebene liegt.

c

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene, in der die Punkte A, B und D liegen, in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $4y - z = 0$)