Aufgabe 1 (MMS 1) - Geraden und Ebenen: Gleichungen und L… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2026

Abbildung 1 zeigt den Körper $ABCDEF$ mit den Eckpunkten $A(2|0|-0{,}5)$, $B(3|5|-0{,}5)$, $C(-3|5|-0{,}5)$, $D(-2|0|-0{,}5)$, $E(2|5|1)$ und $F(-2|5|1)$. Dieser stellt modellhaft eine aus dem Wasser ragende Sprungschanze für Wasserski dar. Das Viereck $AEFD$ beschreibt den sogenannten Schanzentisch, die $xy$-Ebene stellt die Wasseroberfläche dar. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Ein Wasserskifahrer fährt den Schanzentisch geradlinig hinauf, bis er die Kante erreicht, die im Modell der Strecke $\overline{EF}$ entspricht. Der anschließende Sprung beginnt an dieser Kante und endet auf der Wasseroberfläche. Insgesamt legen die Füße des Wasserskifahrers einen Weg zurück, der im Modell als Kurve in einer Ebene beschrieben werden kann, die senkrecht zur $xy$-Ebene liegt und mit $L$ bezeichnet wird. Die Ebene $L$ kann durch die Gleichung $10x - 3y = 0$ dargestellt werden. Die Orte des Absprungs und des Auftreffens auf der Wasseroberfläche werden im Modell durch die Punkte $V$ bzw. $W$ beschrieben. In Abbildung 2 ist die Kurve in der Ebene $L$ dargestellt; die eingetragene Weite des Sprungs ist die Länge einer Strecke, die im Modell ebenfalls in der Ebene $L$ liegt.

c)

Für eine reelle Zahl $k$ ist der Vektor $\begin{pmatrix} k \\ 3 \\ -10 \end{pmatrix}$ ein Normalenvektor der Ebene, in der das Rechteck AEFD liegt. Begründen Sie ohne Rechnung, dass $k = 0$ ist.

f)

Beurteilen Sie, ob der Wasserskifahrer so über den Schanzentisch fährt, dass sein Weg im Modell in der Symmetrieebene des Körpers ABCDEF verläuft.

Ja

Nein