Aufgabe 1 - Funktionsterme bestimmen · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS)

BMX-Fahrräder sind speziell für das Gelände ausgelegte Sportgeräte. Für den professionellen Einsatz dieser Fahrräder wird auf horizontalem Untergrund eine $3\text{ m}$ breite Sprungschanze installiert. Im Längsschnitt der Schanze kann deren Profillinie für $x \in [-8; 0]$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = -\frac{5}{256}x^3 + \frac{3}{4}x + 2$ beschrieben werden. Abbildung 1 zeigt den zugehörigen Teil des Graphen von $f$.

Der Startpunkt, von dem aus die Schanze durchfahren wird, wird durch den Punkt $S(-8 \mid f(-8))$ dargestellt, der Absprungpunkt durch $A(0 \mid f(0))$. Der Untergrund wird im Längsschnitt durch die x-Achse beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Abbildung 2 zeigt grau markiert eine Seite der Schanze, die vollständig mit einer ebenen Verkleidung versehen ist. Die beiden seitlichen Kanten der Verkleidung stehen senkrecht zum Untergrund, der obere Rand der Verkleidung hat die Form der Profillinie.

An die Schanze soll sich ein für die Landung geeigneter Hügel aus Erde anschließen. Mögliche Profillinien dieses Hügels werden im Modell für $x \ge 0$ durch Graphen der Funktionen $g_a$ mit $g_a(x) = x \cdot e^{-a \cdot x^2}$ und $a \in \mathbb{R}^+$ beschrieben.

Die Flugbahnen der Sportler nach dem Absprung lassen sich im Modell vereinfachend mithilfe quadratischer Funktionen beschreiben, deren Graphen im Punkt $A$ ohne Knick an den Graphen von $f$ anschließen.

j

Zeigen Sie, dass jede solche Funktion eine Gleichung der Form $y = b \cdot x^2 + \frac{3}{4} \cdot x + 2$ mit $b \in \mathbb{R}$ hat.

k

Ein Sportler landet nach dem Absprung von der Schanze auf dem Hügel und erreicht dabei eine horizontal gemessene Sprungweite von $6\text{ m}$. Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells die größte Höhe, die der Sportler während der Flugphase gegenüber dem Absprungpunkt erreicht.