Abitur Niedersachsen Mathematik 2022 · LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR)

Für $k \in \mathbb{R}$ mit $0 < k \le 6$ werden die Pyramiden $\text{ABCD}_k$ mit $\text{A}(0|0|0)$, $\text{B}(4|0|0)$, $\text{C}(0|4|0)$ und $\text{D}_k(0|0|k)$ betrachtet (vgl. Abbildung 1).

Für jeden Wert von $k$ liegt die Seitenfläche $\text{BCD}_k$ in der Ebene $\text{L}_k$.

Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der Abbildung 2 gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte $\text{A}$ und $\text{Q}(1|1|3)$ sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen.

Für $k = 6$ enthält die Seitenfläche $\text{BCD}_k$ der Pyramide den Eckpunkt $\text{Q}$ des Quaders. Für kleinere Werte von $k$ schneidet die Seitenfläche $\text{BCD}_k$ den Quader in einem Vieleck.

Nun wird die Pyramide $\text{ABCD}_6$, d. h. diejenige für $k = 6$, betrachtet. Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der $x_1x_2$-Ebene, haben den Eckpunkt $\text{A}$ gemeinsam und sind quadratisch. Die Höhe $h$ der Quader durchläuft alle reellen Werte mit $0 < h < 6$. Für jeden Wert von $h$ liegt der Eckpunkt $\text{Q}_h$ in der Seitenfläche $\text{BCD}_6$ der Pyramide.

a)

Begründen Sie, dass das Dreieck $BCD_k$ gleichschenklig ist. [2 BE]

b)

Der Mittelpunkt der Strecke $\overline{BC}$ ist $M(2|2|0)$. Begründen Sie, dass $|\vec{MD_k}| = \left|\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ k \end{pmatrix}\right|$ die Länge einer Höhe des Dreiecks $BCD_k$ ist. [3 BE]

d)

Ermitteln Sie denjenigen Wert von $k$, für den die Größe des Winkels, unter dem die $x_3$-Achse die Ebene $L_k$ schneidet, $30^\circ$ beträgt. [5 BE]

Für $k \in \mathbb{R}$ mit $0 < k \le 6$ werden die Pyramiden $\text{ABCD}_k$ mit $\text{A}(0|0|0)$, $\text{B}(4|0|0)$, $\text{C}(0|4|0)$ und $\text{D}_k(0|0|k)$ betrachtet (vgl. Abbildung 1).

Für jeden Wert von $k$ liegt die Seitenfläche $\text{BCD}_k$ in der Ebene $\text{L}_k$.

Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der Abbildung 2 gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte $\text{A}$ und $\text{Q}(1|1|3)$ sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen.

Für $k = 6$ enthält die Seitenfläche $\text{BCD}_k$ der Pyramide den Eckpunkt $\text{Q}$ des Quaders. Für kleinere Werte von $k$ schneidet die Seitenfläche $\text{BCD}_k$ den Quader in einem Vieleck.

Nun wird die Pyramide $\text{ABCD}_6$, d. h. diejenige für $k = 6$, betrachtet. Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der $x_1x_2$-Ebene, haben den Eckpunkt $\text{A}$ gemeinsam und sind quadratisch. Die Höhe $h$ der Quader durchläuft alle reellen Werte mit $0 < h < 6$. Für jeden Wert von $h$ liegt der Eckpunkt $\text{Q}_h$ in der Seitenfläche $\text{BCD}_6$ der Pyramide.

c)

Bestimmen Sie eine Gleichung von $L_k$ in Koordinatenform. [4 BE]

(zur Kontrolle: $x_1 + x_2 + \frac{4}{k} \cdot x_3 = 4$)

e)

Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der Abbildung 2 gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte $A$ und $Q(1|1|3)$ sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen. Für einen Wert von $k$ verläuft die Seitenfläche $BCD_k$ durch die Eckpunkte $P$ und $R$ des Quaders. Bestimmen Sie diesen Wert von $k$. [3 BE]

(zur Kontrolle: $k = 4$)

f)

Geben Sie in Abhängigkeit von $k$ die Anzahl der Eckpunkte des Vielecks an, in dem die Seitenfläche $BCD_k$ den Quader schneidet. [4 BE]

Für $4 \le k < 6$:

Eckpunkte

Für $3 < k < 4$:

Eckpunkte

Für $0 < k \le 3$:

Eckpunkte

g)

Nun wird die Pyramide $ABCD_6$, d. h. diejenige für $k = 6$, betrachtet. Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der $x_1x_2$-Ebene, haben den Eckpunkt $A$ gemeinsam und sind quadratisch. Die Höhe $h$ der Quader durchläuft alle reellen Werte mit $0 < h < 6$. Für jeden Wert von $h$ liegt der Eckpunkt $Q_h$ in der Seitenfläche $BCD_6$ der Pyramide. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punkts $Q_h$. [4 BE]

Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $\text{A}(11|11|0)$, $\text{B}(-11|11|28)$, $\text{C}(11|-11|28)$ und $\text{D}(-11|-11|0)$ besteht (vgl. Abbildung 2). A, B, C und D sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A$, $B$ und $C$, die Ebene $F$ die Punkte $B$, $C$ und $D$.

c)

Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. [4 BE]

(zur Kontrolle: $14x_1 + 14x_2 + 11x_3 = 308$)

Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $\text{A}(11|11|0)$, $\text{B}(-11|11|28)$, $\text{C}(11|-11|28)$ und $\text{D}(-11|-11|0)$ besteht (vgl. Abbildung 2). A, B, C und D sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

a)

Begründen Sie, dass die Punkte $B$ und $C$ symmetrisch bezüglich der $x_3$-Achse liegen. [2 BE]

b)

Berechnen Sie die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit. [3 BE]

d)

Berechnen Sie die Größe $\varphi$ des Winkels, unter dem $E$ die $x_1x_2$-Ebene schneidet. Geben Sie einen Term an, mit dem aus $\varphi$ die Größe des Winkels zwischen den Ebenen $E$ und $F$ berechnet werden kann. [5 BE]

e)

Die Ebene $E$ teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie den Anteil des Volumens des pyramidenförmigen Teilkörpers am Volumen des Quaders, ohne die Volumina zu berechnen. [3 BE]

f)

Das Saarpolygon wird mit verschiedenen Blickrichtungen betrachtet. Die Abbildungen 3 und 4 stellen das Saarpolygon für zwei Blickrichtungen schematisch dar.

Geben Sie zu jeder der beiden Abbildungen 3 und 4 einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibt. Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar. [4 BE]

g)

Der Punkt $P(0|0|h)$ liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ und $\overline{CD}$ den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von $h$:

$$\text{I } \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 11 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -22 \\ 0 \\ 28 \end{pmatrix}, t \in [0;1] \qquad \text{II } \vec{PQ} \circ \vec{AB} = 0 \qquad \text{III } |\vec{PQ}| = 28 - h$$

Erläutern Sie die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $h$ zugrunde liegen. [4 BE]