Aufgabe Vorschlag A1 · Abitur Hessen Physik GK 2021

2.1 Beschreiben Sie qualitativ das Interferenzmuster auf dem Schirm. Erläutern Sie die Entstehung des Interferenzmusters mithilfe des Huygens’schen Prinzips.

Lösung: Beschreiben: In der Mitte des Schirms ist ein heller Punkt zu sehen. Auf beiden Seiten schließen sich in jeweils gleichen Abständen helle Punkte an, deren Helligkeit nach außen hin abnimmt. Erläutern: Jeder Spalt ist Ausgangspunkt einer Elementarwelle. Wenn der Gangunterschied der Elementarwellen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge beträgt, so entstehen Maxima durch konstruktive Interferenz. Die Bereiche des Schirms, die diese Bedingung erfüllen, leuchten hell. Beträgt der Gangunterschied dagegen ungeradzahlige Vielfache der halben Wellenlänge, so interferieren die Wellen destruktiv. An diesen Stellen liegen Minima vor, d. h. der Schirm ist hier dunkel.

2.2 Leiten Sie die Formel an = n·(e·λ/d) für den Abstand des Maximums n-ter Ordnung von der Schirmmitte mithilfe geeigneter Skizzen unter Verwendung der Kleinwinkelnäherung her.

Lösung: Für den Gangunterschied $\Delta s$ gilt: $$\frac{\Delta s}{d} = \sin \alpha$$ Für den Abstand $a_n$ des Maximums der Ordnung $n$ von der Symmetrieachse gilt: $$\frac{a_n}{e} = \tan \alpha$$ Für kleine Winkel gilt die Näherung: $\sin \alpha = \tan \alpha$. Damit folgt: $$\frac{\Delta s}{d} = \frac{a_n}{e} \iff a_n = \frac{e}{d} \Delta s$$ Konstruktive Interferenz liegt vor, wenn der Gangunterschied $\Delta s$ die Bedingung $\Delta s = n\cdot \lambda$ (mit $n = 0, 1, 2, 3, \dots$) erfüllt. Damit ergibt sich die gesuchte Formel: $$a_n = n\cdot \frac{e\cdot \lambda}{d}$$

2.2 Berechnen Sie die Wellenlänge λ des Lichts in der Einheit Nanometer.

Lösung: 545 nm / 5.45e-7 m

2.2 Geben Sie mithilfe von Material 3 die Farbe des Laserlichts an.

Lösung: Grün

2.3 Beschreiben Sie, wie sich das Schirmbild bei Verwendung des optischen Gitters von dem Schirmbild mit Doppelspalt qualitativ unterscheidet. Erläutern Sie einen messtechnischen Vorteil, den das optische Gitter gegenüber dem Doppelspalt bei der Bestimmung der Wellenlänge hat.

Lösung: Beschreiben: Beim optischen Gitter vergrößern sich die Abstände der Maxima. Außerdem werden die Maxima heller und schärfer begrenzt. Erläutern: Da die Maxima schärfer ausgeprägt sind und einen größeren Abstand voneinander haben, lässt sich der Abstand zweier Maxima genauer ausmessen.

3.1 Berechnen Sie unter Verwendung der Näherungsformel die Breite eines sichtbaren (kontinuierlichen) Spektrums 2. Ordnung.

Lösung: 6,84 cm / 0,0684 m

3.1 Geben Sie die Reihenfolge der Farben in diesem Spektrum an, beginnend mit der Farbe, die der Schirmmitte am nächsten liegt.

Lösung: Violett, Blau, Grün, Gelb, Orange, Rot

3.2 Prüfen Sie unter Verwendung der Näherungsformel, ob sich die Spektren 2. und 3. Ordnung überlappen. Untersuchen Sie die Abhängigkeit des Ergebnisses von der Gitterkonstanten g.

Lösung: Prüfen: Das Maximum von $\lambda_1 = 390\text{ nm}$ im Spektrum 3. Ordnung liegt bei: $$a_{31} = 3\cdot \frac{e\cdot \lambda_1}{g} = 3\cdot \frac{0{,}9\text{ m}\cdot 390\cdot 10^{-9}\text{ m}}{10\cdot 10^{-6}\text{ m}} = 0{,}1053\text{ m} = 10{,}53\text{ cm}$$ Im Spektrum 2. Ordnung liegt das Maximum von $\lambda_2$ bei $a_{22} = 13{,}86\text{ cm}$. Da $a_{31} < a_{22}$, überlappen sich die Spektren der 2. und 3. Ordnung. Untersuchen: $$a_{22} - a_{31} = 2\cdot \frac{e\cdot \lambda_2}{g} - 3\cdot \frac{e\cdot \lambda_1}{g} = (2\cdot \lambda_2 - 3\cdot \lambda_1)\cdot \frac{e}{g} = (2\cdot 770\text{ nm} - 3\cdot 390\text{ nm})\cdot \frac{e}{g} > 0$$ Die Differenz ist unabhängig von $g$ immer positiv, daher überlappen sich beide Spektren für alle Gitterkonstanten $g$.

3.3 Beurteilen Sie, ob zur Berechnung der Lösungen der Aufgabe 3.1 die Näherungsformel zulässig ist.

Lösung: Für die genaue Berechnung gilt: $$\sin \alpha = \frac{n\cdot \lambda}{g} \quad \text{und} \quad \tan \alpha = \frac{a}{e}$$ Da die Abweichung für größere Winkel am größten ist, genügt die Prüfung für $a_{22}$: $$a_{22} = e\cdot \tan\left(\arcsin\left(\frac{2\cdot \lambda_2}{g}\right)\right) = 0{,}9\text{ m}\cdot \tan\left(\arcsin\left(\frac{2\cdot 770\cdot 10^{-9}}{10\cdot 10^{-6}}\right)\right) = 0{,}1403\text{ m} = 14{,}03\text{ cm}$$ Prozentuale Abweichung: $$\frac{13{,}86\text{ cm}}{14{,}03\text{ cm}} = 0{,}988 \implies 1{,}2\,\%\text{ Abweichung}$$ Da $1{,}2\,\% \le 2\,\%$, ist die Näherungsformel für Aufgabe 3.1 zulässig.

4. Untersuchen Sie, für welche Wellenlängen das reflektierte Licht konstruktiv interferiert.

Lösung: 440 nm / 4.4e-7 m

4. In welcher Farbe dieser Flügel deshalb einem Betrachter erscheint:

Lösung: Blau

Begründung / Untersuchung:

Lösung: Konstruktive Interferenz tritt auf für $\Delta s = k\cdot \lambda$ mit $k\in\mathbb{N}$. Mit $\Delta s = 2h = 440\text{ nm}$ folgt für $k = 1$: $\lambda = 440\text{ nm}$ (blaues Licht im sichtbaren Bereich von $390\text{ nm}$ bis $770\text{ nm}$). Für $k \ge 2$ ergibt sich $\lambda \le 220\text{ nm}$ (im UV-Bereich, nicht sichtbar). Daher erscheint der Flügel blau.

2.1 Zeichnen Sie die Größen d und e in Material 2 ein. / 2.2 Herleitungsskizze

Lösung: 2.1 Zeichnung in Material 2: Der Spaltabstand $d$ zwischen den beiden Spalten und der Abstand $e$ zwischen Doppelspalt und Schirm werden eingetragen. 2.2 Skizze zur Herleitung: