Aufgabe Vorschlag B2 - 2 (2.3-2.5) · Abitur Hessen Physik GK 2021

Thema: Quantenobjekte · Aus der Prüfung GK (2021)

Aufgabenstellung

Aufgabe 2

Im Folgenden werden die Eigenschaften von Quantenobjekten betrachtet.

2.3

Im Jahre 1924 hat Louis de Broglie seine bahnbrechenden Hypothesen aufgestellt, die erst drei Jahre später bestätigt werden konnten.

Nennen Sie die De-Broglie-Gleichung und die grundsätzliche Überlegung, die zu dieser Gleichung führte.

Beschreiben Sie, worin die experimentellen Schwierigkeiten der Bestätigung lagen und wie sie gelöst wurden (z. B. durch Clinton Davisson und Lester Germer).

2.4

Zeigen Sie, dass für den Impuls eines Elektrons, welches aus der Ruhe heraus mit einer nicht zu hohen Beschleunigungsspannung UU beschleunigt wurde, gilt: p=2⋅e⋅U⋅mep = \sqrt{2 \cdot e \cdot U \cdot m_e}. Dabei ist ee die Elementarladung und mem_e die Masse des Elektrons.

Berechnen Sie mithilfe der Formel den Impuls eines mit 5 kV5\text{ kV} beschleunigten Elektrons.

[zur Kontrolle: p=3,82⋅10−23 Nsp = 3{,}82 \cdot 10^{-23}\text{ Ns} ]

2.5

Das Auflösungsvermögen eines Mikroskops, d. h. der Abstand Δx\Delta x zweier Punkte, die gerade noch als getrennt wahrgenommen werden können, wird durch die Wellenlänge des verwendeten Lichts begrenzt. Hierbei gilt vereinfacht, dass die Wellenlänge höchstens gleich dem Auflösungsvermögen sein darf. Durch die Entwicklung von Elektronenmikroskopen, die sich die Welleneigenschaften von Elektronen zunutze machen, konnte das Auflösungsvermögen deutlich verbessert werden und der Blick in die atomare Welt wurde ermöglicht.

2.5.1

Beurteilen Sie, ob die mit 5 kV5\text{ kV} beschleunigten Elektronen zur Betrachtung atomarer Strukturen im Bereich von 1 nm1\text{ nm} geeignet sind.

2.5.2

Schätzen Sie ab, um welchen Faktor sich das Auflösungsvermögen bei einer Beschleunigungsspannung von 5 kV5\text{ kV} im Vergleich zu sichtbarem Licht verbessert hat.

Aufgabenstellung: Aufgabe Vorschlag B2 - 2 (2.3-2.5) · Abitur Hessen Physik GK 2021

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

2.3 Nennen Sie die De-Broglie-Gleichung und die grundsätzliche Überlegung, die zu dieser Gleichung führte.

Lösung: Teilchen mit einer Masse mm und einer Geschwindigkeit vv (also einem Impuls pp) zeigen auch Welleneigenschaften. Sie besitzen die Wellenlänge λ=hp\lambda = \frac{h}{p}.

2.3 Beschreiben Sie, worin die experimentellen Schwierigkeiten der Bestätigung lagen und wie sie gelöst wurden.

Lösung: Die theoretischen Berechnungen ergeben eine sehr kleine Wellenlänge im pm-Bereich. Um diese experimentell nachzuweisen, müssen Elektronen miteinander interferieren können. Ein geeignetes Gitter mit entsprechend kleiner Gitterkonstante war nicht zu realisieren. Davisson und Germer nutzten die regelmäßigen Strukturen eines Kristalls für den experimentellen Nachweis der Interferenzeigenschaften.

2.4 Zeigen Sie, dass für den Impuls eines Elektrons gilt: p = √(2·e·U·m_e).

Lösung: Ekin=Eel  ⟹  12mev2=e⋅U  ⟹  v=2⋅e⋅UmeE_\text{kin} = E_\text{el} \implies \frac{1}{2}m_e v^2 = e \cdot U \implies v = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U}{m_e}} p=me⋅v=me⋅2⋅e⋅Ume=2⋅e⋅U⋅mep = m_e \cdot v = m_e \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U}{m_e}} = \sqrt{2 \cdot e \cdot U \cdot m_e}

2.4 Berechnen Sie mithilfe der Formel den Impuls eines mit 5 kV beschleunigten Elektrons.

Lösung: 3,82⋅10−233{,}82 \cdot 10^{-23} Ns

2.5.1 Wellenlänge der Elektronen:

Lösung: 17,317{,}3 pm / 0,01730{,}0173 nm / 0,020{,}02 nm

2.5.1 Beurteilen Sie, ob die mit 5 kV beschleunigten Elektronen zur Betrachtung atomarer Strukturen im Bereich von 1 nm geeignet sind.

Lösung: Atomare Strukturen im Nanometerbereich lassen sich mit diesem Elektronenmikroskop gut beobachten, da λ≈0,02 nm<1 nm\lambda \approx 0{,}02\text{ nm} < 1\text{ nm} ist.

2.5.2 Schätzen Sie ab, um welchen Faktor sich das Auflösungsvermögen bei einer Beschleunigungsspannung von 5 kV im Vergleich zu sichtbarem Licht verbessert hat.

Lösung: 2000020000 / 2300023000

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