Aufgabe C1 - 5 · Abitur Hessen Mathematik LK · WTR 2021

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die „Puerta de Europa“ in Madrid besteht aus zwei einander zugeneigten Türmen (Material 1), die jeweils die Form eines Spats aufweisen. Ein Spat ist ein Körper, dessen Oberfläche aus sechs Parallelogrammen besteht, wobei jeweils gegenüberliegende Flächen kongruent und parallel zueinander sind.

Im Modell liegen die Bodenflächen beider Türme in der $x$-$y$-Ebene, die den Erdboden beschreibt. Die Dachflächen liegen in einer Ebene, die parallel zur $x$-$y$-Ebene verläuft, die Nord- und Südwände liegen jeweils in einer Ebene, die parallel zur $y$-$z$-Ebene verläuft. Die (positive) $x$-Achse zeigt in Richtung Süden, die (positive) $y$-Achse in Richtung Osten.

Die Türme haben jeweils eine Höhe von $114\text{ m}$. Der Ostturm hat unter anderem die Eckpunkte $A(1{,}75|6|0)$, $B(1{,}75|9{,}5|0)$, $D(-1{,}75|6|0)$ und $E(1{,}75|2{,}9|11{,}4)$.

Eine Längeneinheit entspricht dabei $10\text{ m}$.

Material 1: Bilder der Puerta de Europa

Material 2: Koordinatensystem

5 An einem Tag im März 2021 scheint die Sonne um 13.30 Uhr näherungsweise aus südlicher Richtung auf die Puerta de Europa und den inzwischen im Mittelpunkt P der Grundfläche aus Aufgabe 4 errichteten, 93 m hohen Obelisken. Die Spitze des Obelisken liegt in vertikaler Richtung genau oberhalb des Punktes P. Der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 + 0{,}2t \\ 0{,}5t \\ -1{,}2 + 0{,}2t \end{pmatrix}$ beschreibt für einen sehr eng begrenzten Zeitraum in guter Näherung die Richtung der Sonnenstrahlen. Der Parameter $t$ steht dabei für die Zeit nach 13.30 Uhr in Stunden. Es gilt $0 \le t \le 2$.

5.1

Berechnen Sie den Winkel, in dem die Sonnenstrahlen um 13.30 Uhr auf den Erdboden treffen und den Schattenpunkt der Spitze des Obelisken auf dem Erdboden zu dieser Uhrzeit.

[Hinweis: Sollten Sie die Koordinaten des Punktes P in Aufgabe 4 nicht bestimmt haben, verwenden Sie stattdessen den Ersatzpunkt $P^*(13{,}5|0|0)$.]

°

5.2

Berechnen Sie die Matrix, die den Schattenwurf eines beliebigen Punktes $Q(x|y|z)$ mit $z \ge 0$ auf die x-y-Ebene für den durch den Definitionsbereich für $t$ gegebenen Zeitraum beschreibt.