Guia d'Estudi: Distribució Normal i Inferencia Estadística

I 96 flashcards i 64 preguntes més al document.

Text del document

MATEMÀTIQUES CCSS de 2n BATXILLERAT TEORIA: DISTRIBUCIÓ NORMAL I INFERÈNCIA ESTADÍSTICA 1. INTRODUCCIÓ: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA I INFERENCIAL L'estadística és la ciència o branca de les Matemàtiques que s'ocupa de recollir dades, analitzar-les, organitzar-les i de realitzar les prediccions que sobre aquestes dades es puguin deduir. L'estadística té dues branques bàsiques: Estadística descriptiva: serveix per organitzar i resumir la informació d'un conjunt de dades. Utilitza eines com taules, gràfics (barres, sectors, histogrames) i mesures com la mitjana o la mediana. Només descriu el que s'ha observat, sense fer prediccions.

Exemple: en una classe, es recullen les notes d'un examen, es calcula la mitjana (per exemple, 6,8) i es fa un gràfic per veure com es distribueixen. Això ajuda a entendre com ha anat el grup. Estadística inferencial: serveix per treure conclusions sobre una població a partir d'una mostra. Com que no sempre es poden estudiar totes les dades, es treballa amb una part representativa i, amb ajuda de la probabilitat, es fan estimacions o prediccions, assumint un cert marge d'error. Exemple actual: es fa una enquesta a 1.000 persones sobre a qui votaran a unes eleccions o sobre l'ús del mòbil, i amb aquests resultats s'estima què pensa tota la població.

Això és el que fan sovint les enquestes que surten als mitjans. En aquest tema es treballa sobretot l'estadística inferencial, que permet anar més enllà de les dades observades i prendre decisions o fer prediccions. 2. MOSTREIG ESTADÍSTIC Sovint trobem als mitjans de comunicació referències a resultats d'enquestes relatives a diferents aspectes polítics o sociològics com la "valoració de líders o partits polítics" o "temes de preocupació de la població d'un país". Si estem interessats a conèixer l'opinió dels electors sobre alguns líders polítics, el col·lectiu que haurem d'estudiar serà tots els espanyols que poden votar: els majors de 18 anys, i que anomenarem POBLACIÓ del nostre estudi.

No és possible preguntar a tots els individus que componen la població, ja que seria un procés lent i costós; per tant, recorrem només a alguns d'ells, el que anomenem MOSTRA de la població. L'opinió de la mostra ens servirà per fer-nos una idea, més o menys encertada, del que opina tota la població. La població o univers és el conjunt de tots els individus que són objecte d'un estudi. Una mostra és un subconjunt de la població, l'estudi del qual serveix per inferir característiques de tota la població. PER QUÈ ES RECORRE A MOSTRES?

A la pràctica, és molt comú haver de recórrer a una mostra per inferir dades d'una població per algun d'aquests motius: La població és excessivament nombrosa o és infinita. La població és molt difícil o impossible de controlar. El procés de mesura és destructiu. És necessari conèixer ràpidament certes dades de la població i es trigaria massa a preguntar a tothom. TEORIA. Distribució Binomial, Normal i Inferència estadística MACS 2n Batxillerat E v e l i n Q u e r a l P à g i n a 2 " 17 COM HAN DE SER LES MOSTRES? Hi ha dos aspectes molt importants a tenir en compte a l'hora d'escollir una mostra: la seva mida i la manera com es realitza l'elecció dels individus que la componen.

Ha de ser una mostra no gaire petita i ha de ser representativa de la població. Tot i així, es cometran errors però seran controlables. La manera més eficaç d'aconseguir que una mostra sigui representativa és triar-la a l'atzar. En aquest cas diem que s'ha aconseguit mitjançant un mostreig aleatori, en aquest cas, cada individu de la població té la mateixa probabilitat de ser triat. Hi ha diferents mètodes però no els estudiarem. Quan es treballa amb MOSTRES extretes d'una població és important diferenciar entre: Paràmetres estadístic, o simplement, ESTADÍSTICS: són els paràmetres observats en la mostra.

És el cas de la mitjana mostral ̅ o de la proporció mostral ̂ Paràmetres poblacionals, o simplement, PARÀMETRES: són els paràmetres observats en la població. És el cas de la mitjana poblacional o de la proporció poblacional pr Un cop recollida la mostra, es procedeix a l'anàlisi dels seus estadístics per tal d'estimar a partir d'aquests, els valors dels paràmetres poblacionals que es volen estudiar. 3. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT 3.1 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA I DISTRIBUCIÓ DE PROBABILITAT Quan es fa un experiment aleatori —per exemple, llançar monedes— els resultats possibles poden ser molts i sovint no són numèrics per si mateixos (com "cara" o "creu").

Per poder treballar matemàticament amb aquests resultats, es defineix una variable aleatòria, que és simplement una manera d'assignar un nombre a cada resultat possible de l'experiment. Així, una variable aleatòria és una funció que assigna un nombre real a cada esdeveniment A d'un espai mostral Ω associat a un experiment aleatori. Per exemple, imaginem que llancem tres monedes i ens fixem només en el nombre de cares que obtenim. En aquest cas, no ens importa l'ordre concret dels resultats, sinó només quantes cares hi ha. La variable aleatòria assigna un número a cada resultat: si no surt cap cara, = 0; si en surt una, = 1; si en surten dues, = 2; i si en surten tres, = 3.

Aquesta variable aleatòria és discreta, perquè només pot prendre valors concrets (0, 1, 2 o 3) i no té sentit que prengui valors intermedis com 1,5. Un cop definida la variable aleatòria, podem estudiar les probabilitats corresponents: TEORIA. Distribució Binomial, Normal i Inferència estadística MACS 2n Batxillerat E v e l i n Q u e r a l P à g i n a 3 " 17 3.1.1 Distribució binomial La distribució binomial és una distribució de probabilitat discreta que mesura el nombre d'èxits en una sèrie de repeticions independents d'un experiment aleatori que admet únicament dos resultats: èxit o fracàs. Considerem un experiment amb les característiques següents: Nombre predeterminat de n repeticions.

Cadascuna de les repeticions és independent de les anteriors. En cada realització de l'experiment, només és possible dos resultats: èxit o fracàs. La probabilitat de tots dos resultats és constant. P(èxit) = p i P(fracàs) = q = 1 – p La variable estadística X mesura el nombre d'èxits obtinguts a l'experiment. 3.2 VARIABLE ALEATÒRIA CONTÍNUA I FUNCIÓ DE DENSITAT Si triem 100 alumnes i mirem la seva nota de matemàtiques a 1r d'enginyeria, aquesta pot prendre qualsevol valor dins d'un interval. Quan tots els valors dins d'aquests límits són possibles, diem que és una variable aleatòria contínua.

Per exemple, en la següent taula trobem aquestes notes distribuïdes i per intervals i la seva freqüència relativa fi (fr. absoluta / nº total d'observacions), i també l'histograma associat: Si realitzéssim el mateix estudi per a totes les notes dels 100 alumnes i les aproximéssim fins a les dècimes, centèsimes, mil·lèsimes, etc., obtindríem un polígon de freqüències semblant al de la figura de l'esquerra. Aquest diagrama ens pot proporcionar una idea intuïtiva d'una distribució de probabilitat contínua. Per una variable aleatòria contínua X, definim la funció de densitat f(x) de la variable tal que: 1. 2. L'àrea del recinte que determina la gràfica de f(x) amb l'eix OX és 1.

La funció de distribució, igual que en el cas de les variables discretes, es defineix: TEORIA. Distribució Binomial, Normal i Inferència estadística MACS 2n Batxillerat E v e l i n Q u e r a l P à g i n a 4 " 17 Per tant, aquesta funció acumula la funció de densitat corresponent a tots els valors reals més petits o iguals que x. La funció de distribució és la que s'utilitza per al càlcul de probabilitats d'una variable aleatòria contínua, de manera que: 3.2.1 LA DISTRIBUCIÓ NORMAL Una de les distribucions de probabilitat contínua més important és la distribució normal, ja que molts fenòmens naturals i socials s'hi ajusten quan la mida de la mostra n es prou gran.

Es diu que una variable aleatòria contínua X segueix una distribució normal de mitjana μ i desviació típica σ, es designa per N(μ, σ), si es verifiquen les condicions següents: Els valors de la variable són tots nombres reals. La funció de densitat és: que és l'expressió algèbrica de la corba normal o campana de Gauss. Els valors de μ i σ s'anomenen paràmetres de la distribució normal. Propietats de la funció de densitat de la distribució normal: El seu domini de definició és tota la recta real R. La seva gràfica és simètrica respecte de la recta x = μ. No talla l'eix d'abscisses (OX), ja que les funcions exponencials són estrictament positives.

L'àrea del recinte que determina la corba amb l'eix OX és 1, ja que es tracta d'una funció de densitat. En els intervals (μ σ, μ + σ); (μ 2σ, μ + 2σ) i (μ 3σ, μ + 3σ), s'hi troba el 68,26 %; 95,44 % i 99,74 %, respectivament, del total de l'àrea. Veure la figura: TEORIA. Distribució Binomial, Normal i Inferència estadística MACS 2n Batxillerat E v e l i n Q u e r a l P à g i n a 5 " 17 La forma de la gràfica de la funció de densitat dependrà dels valors de μ i σ.

Tot seguit, mostrem les gràfiques per a diferents valors dels paràmetres μ i σ: 3.2.2 Tipificació d'una variable X que segueix una distribució N(μ, σ) Existeixen infinites distribucions normals diferents en funció dels valors de la seva mitjana i la seva variància. Per això, per poder treballar amb la funció de distribució d'una variable contínua amb distribució normal, és a dir, per calcular F(x1) = p[X x1], on X és una variable contínua que segueix una distribució normal N(μ, σ), ens veure'm obligats a tipificar prèviament la variable: Representem per X ~ N(μ, σ).

Si considerem la variable = , obtenim una nova variable que segueix una distribució normal Z ~ N(0, 1) i s'anomena variable tipificada. Aspectes a tenir en compte: Per facilitar el càlcul de F(z1) = p[Z z1] en una distribució normal N(0, 1), s'ha de buscar els valors tipificats en una TAULA N(0, 1). Els valors que hi apareixen són els de la probabilitat que coincideixen amb l'àrea que determina la funció en l'interval ( , z1] per a z1 0. És a dir, ens dona l'àrea que hi ha fins al valor Z = z1 0. (del valor positiu cap a l'esquerra) En la taula només apareixen probabilitats per a valors positius de la variable Z, atesa la simetria respecte de la recta x=0.

Per tant, per a valors negatius haurem de fer deduccions. La variable contínua no seguirà sempre una distribució normal reduïda. En aquests casos, cal transformar la variable X en la variable tipificada Z. DE FORMA RESUMIDA AQUÍ TENS LES PROPIETATS, però millor que ho dedueixis amb la gràfica: P[z k] = P[z<k] = F(k) P[z>k] = 1 - P[z<k] = 1 - F(k) P[z>-k] = P[z k] = F(k) P[z<-k] = P[z>k] P[z<-k] = P[z>k] P[k1<z<k2] = P[z<k2] – P[z<k1] = F(k2) - F(k1) (positius) P[-k2<z<-k1] = P[k1<z<k2] per simetria P[-k1<z<k2] = P[z<k2] – P[z<-k1] (cas anterior) TEORIA.

Distribució Binomial, Normal i Inferència estadística MACS 2n Batxillerat E v e l i n Q u e r a l P à g i n a 6 " 17 EXEMPLE 1 D'ÚS DE LA TAULA DE LA NORMAL N(0, 1) directe de la taula EXEMPLE 2 D'ÚS DE LA TAULA N(0, 1) determinar el valor de Z coneixent la probabilitat TEORIA.

Distribució Binomial, Normal i Inferència estadística MACS 2n Batxillerat E v e l i n Q u e r a l P à g i n a 7 " 17 EXEMPLE 3 de càlcul de probabilitats amb tipificació prèvia: EXEMPLE 4 amb aplicació a problemes competencials: 3.3 APROXIMACIÓ D'UNA DISTRIBUCIÓ BINOMIAL PER UNA NORMAL Recordem que quan una variable aleatòria segueix una distribució binomial B(n, p), té una funció de probabilitat: Segons el Teorema central del límit, la suma de moltes variables aleatòries independents (com les proves d'una binomial), tendeix a una distribució Normal quan es verifiquen les condicions: El nombre de proves n és un nombre prou gran.

En general, si 30 Com més gran sigui n i més s'aproximi el valor de p a 0,5, millor serà l'aproximació. Més concretament, si · 5 · (1 ) 5 En aquestes condicions, la binomial ( , )es pot aproximar per una normal amb: mitjana: = desviació típica: = (1 ) Per tant, si n és prou gran i es compleixen les condicions anteriors: ( , ) ( , ) Important: quan es fa aquesta aproximació, s'ha d'aplicar la correcció de continuïtat (sumar o restar 0,5), perquè la binomial és discreta i la normal és contínua. TEORIA.

Distribució Binomial, Normal i Inferència estadística MACS 2n Batxillerat E v e l i n Q u e r a l P à g i n a 8 " 17 En una distribució binomial té sentit parlar de P[X = x1], en què x1 és un nombre enter més gran o igual que zero, mentre que en les distribucions contínues succeeix que P[X = x1] = 0. Per tal que això no succeeixi, quan aproximem una distribució binomial per una normal establim el criteri següent: si volem trobar P[X = x1], quan fem l'aproximació calcularem Exemple: 4. DISTRIBUCIONS DE MOSTREIG Quan es vol estudiar un paràmetre d'una població, sovint no es disposa de tota la informació necessària i es recorre a una mostra.

A partir d'aquesta mostra es calcula un estadístic (com ara la mitjana o la proporció), que s'utilitza com a estimació del paràmetre poblacional. Aquest estadístic pot variar poc o molt en cadascuna de les mostres agafades. Per analitzar-la, es consideren totes les possibles mostres d'una mida fixa n i es calcula l'estadístic en cadascuna, i així s'obté una distribució de valors i s'anomena distribució mostral. Segons l'estadístic, es pot parlar de distribucions mostrals de la mitjana, la proporció o la variància. 4.1 DISTRIBUCIÓ DE LA MITJANA MOSTRAL Suposem que es vol estudiar la mitjana d'una població.

Per fer-ho es consideren totes les mostres possibles de mida n, i en calculem les mitjanes 1 ̅̅̅, 2 ̅̅̅, … La variable aleatòria ̅ que associa a cada mostra la seva mitjana corresponent, s'anomena mitjana mostral i la distribució que segueix la variable s'anomena distribució de la mitjana mostral. Donada una població amb una mitjana μ i una desviació típica σ, no necessàriament normal, la distribució de les mitjanes mostrals de mida n té les característiques següents: Té la mateixa mitjana μ, que la població, i la seva desviació típica és , i per tant disminueix quan augmentem n. I Quan 30, és pràcticament Normal. Per tant: ̅~ ( , ) TEORIA.

Distribució Binomial, Normal i Inferència estadística MACS 2n Batxillerat E v e l i n Q u e r a l P à g i n a 9 " 17 Si la població inicial és normal, també ho serà la distribució de les mitjanes mostrals, sigui quin sigui la mida n de la mostra. Exemple: La massa de les peres d'una collita es distribueix normalment amb una mitjana de 125 gr i una desviació típica de 20 gr. Quina és la probabilitat que una pera triada a l'atzar pesi més de 130 gr? Quina és la probabilitat que el pes mitjà d'una mostra de 25 peres sigui superior a 130 gr? Resolució: X ~ N(125, 20) és la variable massa de les peres i per Z ~ N(0, 1) és la variable tipificada.

A partir d'aquestes, podem calcular la probabilitat que una pera o una mostra tinguin un pes superior a un determinat llindar. 4.2 DISTRIBUCIÓ DE LA SUMA DE TOTS ELS INDIVIDUS D'UNA MOSTRA Com ̅ = on n és la mida de la mostra i tots els seus valors, aleshores: = ̅ · i a més, podem assegurar que segueix una distribució Normal ( · , · ) = ( · , · ) A partir d'aquí podrem calcular la probabilitat de què la suma dels elements d'una mostra estigui dins d'un cert interval. Exemple: les bosses de sucre envasades per una certa màquina segueixen una distribució normal amb una mitjana de 500 gr. i una desviació de 35gr. Aquestes bosses s'empaqueten en caixes de 100 unitats.

A)Calcula la probabilitat que la mitjana dels pesos de les bosses d'un paquet sigui menor que 495gr. Les dades que ens donen μ =500g i una σ=35g són de la població i ens diu que és una normal, per tant podem assegurar que la distribució de les mitjanes mostrals és: ̅~ ( , ) ~ (500, 35 100 ) ~ (500, 3,5) i ens demanen la probabilitat [ ̅ < 495] així: 1 – 0,9236 = 0,0764 B) Calcula la probabilitat que una caixa de 100 bosses pesi més de 51 kg. Sabem que la població té una μ =500g i una σ=35g. A més, ~ ( · , · ) = N(100·500, 35· 100) = N(50.000, 350). Per tant, ens demanen: 1 – 0,9979 = 0,0021 TEORIA.

Distribució Binomial, Normal i Inferència estadística MACS 2n Batxillerat E v e l i n Q u e r a l P à g i n a 10 " 17 4.3 DISTRIBUCIÓ DE LA PROPORCIÓ MOSTRAL Suposem que es vol estudiar quina proporció p, d'una població compleix una determinada característica. Per fer-ho, considerem totes les mostres possibles de mida n, i calculem la proporció en cadascuna, 1 ̂ , 2 ̂ , 3 ̂ … La distribució de probabilitat d'aquesta variable aleatòria ̂ s'anomena distribució de la proporció mostral.

I en aquest cas es compleix que: La mitjana de la distribució de la proporció mostral és: μ = p I aquestes mitjanes es distribueixen entorn la mitjana p amb una desviació típica: σ = ·(1 ) Si extraiem una mostra de mida n sabem que la distribucions de la proporció ̂ segueixen una distribució normal ̂~ ( , ·(1 ) ) i, per tant , podrem calcular la probabilitat de què la proporció d'una mostra concreta estigui dins un interval. Exemple: En unes eleccions, el 52% de la població va votar el candidat A.

Si abans de les eleccions s'hagués fet un sondeig en una mostra de 500 habitants, quina hauria estat la probabilitat d'obtenir menys d'un 50% de vots d'aquest candidat, si suposem que s'ha mantingut la intenció de vot? Comprensió: Volem saber si la mostra de 500 habitants té una proporció de vot de menys d'un 50%,, si sabem que en la població aquesta proporció és del 52%. 5. ESTIMACIÓ L'estadística inferencial té com a objectiu principal extreure conclusions sobre una població a partir de la informació proporcionada per una mostra. Com que aquesta informació és limitada, les conclusions obtingudes sempre comporten un cert grau d'incertesa.

En la pràctica, és habitual voler estimar el valor d'un paràmetre poblacional desconegut utilitzant dades mostrals. Aquesta estimació es pot fer de dues maneres: mitjançant un únic valor, anomenat estimació puntual, o bé proporcionant un interval dins del qual és probable que es trobi el paràmetre, anomenat interval de confiança. TEORIA. Distribució Binomial, Normal i Inferència estadística MACS 2n Batxillerat E v e l i n Q u e r a l P à g i n a 11 " 17 5.1 ESTIMACIÓ PUNTUAL Analitzem dues situacions, semblants però molt diferents: PROBLEMA 1: L'estatura dels soldats d'un regiment té una mitjana μ=175 i una desviació típica σ=5.

Quina és la probabilitat que l'estatura mitjana dels 32 soldats que han fet guàrdia aquesta nit estigui compresa entre 174,4 i 175,6? PROBLEMA 2: L'estatura mitjana dels 32 soldats que han estat seleccionats per fer guàrdia aquesta nit és ˉ = 175cm. Quina és la probabilitat que la mitjana μ de tots els soldats del regiment pertanyi a l'interval (174,4 , 175,6)? En el PROBLEMA1 coneixem la població i, a partir d'ella, pretenem deduir el comportament d'una mostra. És el que hem vist en els apartats anteriors a través del teorema central del límit. En canvi, en el PROBLEMA2 coneixem una mostra i, a partir d'ella, pretenem deduir aspectes de la població.

En concret, pretenem inferir el valor de la mitjana de la població a partir del coneixement de la mitjana d'una mostra. Aquest és el típic problema de la inferència estadística: estimar el valor d'un paràmetre de la població a partir d'una mostra, el que anomenem estimació puntual. 5.2 ESTIMACIÓ PER INTERVALS DE CONFIANÇA L'estimació puntual proporciona un sol valor del paràmetre poblacional desconegut. La manca de dades suficients que assegurin la fiabilitat exacta que requereix aquest tipus d'estimació fa que l'estimació puntual se substitueixi per l'estimació per intervals de confiança, ja que aquesta proporciona un interval entre els extrems del qual se situa el valor del paràmetre.

INTERVALS DE CONFIANÇA L'objectiu d'aquest tipus d'estimació és trobar, a partir d'una mostra, un interval = ( , ) tal que existeixi una probabilitat elevada que contingui el paràmetre poblacional desconegut, , i amb una amplitud (diferència entre els extrems) reduïda.

Primerament cal fixar la probabilitat 1 = (a les PAU) amb la qual desitgem que l'interval I buscat contingui el paràmetre Anomenem nivell de confiança el nombre 1 = i nivell de significació el nombre Si = ( , ) és l'interval tal que ( < < ) = 1 , direm que és l'interval de confiança per al paràmetre amb nivell de confiança 1 = (o nivell de significació ) 5.2.1 Determinació de l'interval de confiança en general per un paràmetre Tal com hem explicat a la introducció, el Nivell de confiança el denotem per 1 , però a les PAU la notació usada és . I el nivell de significació és , a les PAU per tant seria: 1 A la taula de la dreta podeu trobar els Nivells més freqüents d'examen. TEORIA.

Distribució Binomial, Normal i Inferència estadística MACS 2n Batxillerat E v e l i n Q u e r a l P à g i n a 12 " 17 Sigui S una estimació del paràmetre λ, i suposem que S té una distribució Normal ~ ( , ), aleshores en tipificar la variable: ~ ~ (0, 1). Sabem que la distribució Z està tabulada, de manera que podem trobar l'interval [ 2 , 2 ] tal que: ( 2 < < 2 ) = 1 = Al valor / s'anomena valor crític de nivell de confiança 1 = , i és un valor tal que deixa a la dreta (o esquerra) una probabilitat /2.

I passant de l'expressió tipificada a l'expressió sense tipificar, obtenim l'INTERVAL DE CONFIANÇA, amb nivell de confiança 1 = : ( ) = [ 2 · , + 2 · ] NOTA: A les activitats de classe haureu d'aprendre a calcular aquest valor crític / com explicarem ara al següent requadre. De fet hi ha dues formes de fer-ho! A LES PAU: aquest valor crític us el donen ja calculat i ho fan de la següent forma: o bé en funció si volen un nivell de confiança 1 = (0,1), del 95% o bé del 99% respectivament.

FORMES PER A CALCULAR el valor crític donat un nivell de significació : De les propietats de càlcul de les probabilitats, es pot deduir que: [ ] = , i amb aquesta expressió directament podrem trobar el valor de a la taula de la Normal Una altra forma és seguir el passos següents: del nivell de confiança % = 1 , trobar el nivell de significació α i calcular α/2 P[z> ]= α/2 P[z< ]= + α/2 Obtenir el valor crític de la taula N(0,1) EXEMPLE 1: Calcula el valor crític i l'interval característic corresponent a una probabilitat del 95% en una distribució N(0, 1) Forma 1: Segons l'enunciat = 0,95 i per tant = 1 = 1 0,95 = 0,05 , aleshores segons la fórmula [ ] = = 2 0,05 2 = 0,975 Ara podem buscar el valor de probabilitat a la taula de la N(0,1) i trobem que correspon al valor = 1,96, que es el valor crític.

TEORIA. Distribució Binomial, Normal i Inferència estadística MACS 2n Batxillerat E v e l i n Q u e r a l P à g i n a 13 " 17 Forma 2: L'enunciat ens diu que = 0,95 i per tant = 1 0,95 = 0,05 i α/2 = 0,05/2 = 0,025 Podem veure que la P[z > ]= 0,025 i que P[z ]= 0,025 + 0,95 = 0,975 Ara podem buscar el valor de probabilitat a la taula de la N(0,1) i trobem que correspon a = 1,96, que es el valor crític. Per tant, l'interval característic serà ( 2 , 2 ) = ( 1,96, 1,96) i es complirà que la probabilitat P[-1,96 < Z < 1,96] = 0,95 com ens demana l'enunciat.

EXEMPLE 2: Calcula el valor crític i l'interval característic corresponent a una probabilitat del 95% en una distribució N(66,8) Per començar calculem el valor crític corresponent a = 0,95 , i que tal com hem fet a l'exemple anterior sabem que = 1,96.

Aleshores l'interval I l'interval característic serà: ( 2 , 2 ) = ( 1,96, 1,96) Com la variable X tipificada és = , al aïllar el valor de la X, l'interval característic serà: ( · , + · ) = (66 1,96 · 8, 66 + 1,96 · 8) = (50,32, 81,68) EXEMPLE 3: Calcula el valor crític i l'interval característic corresponent a una probabilitat del 99% en una distribució N(66,8) Per començar calculem el valor crític corresponent a = 0,99 , i seguint els mateixos passos o bé de forma més ràpida: [ ] = = 2 0,01 2 = 0,995 i buscant a la taula = 2,575.

Com la variable X tipificada és = , al aïllar el valor de la X, l'interval característic serà: ( · , + · ) = (66 12,575 · 8, 66 + 2,575 · 8) = (45,4, 86,6) 5.2.2 Interval de confiança per a la mitjana CAS DE MOSTRES NORMALS AMB CONEGUDA: Volem estimar la mitjana μ d'una població. Suposem que coneixem la desviació típica σ de la població. Per fer-ho, recorrem a una mostra de mida n i calculem la mitjana mostral ̅, que és un estimador de μ. Si la població inicial és normal o si la mida de la mostra és n 30, l'interval de confiança per a mitjana μ, amb un nivell de confiança 1 = (0, 1) ve donat per: ( ) = ( ˉ / , ˉ + / ) TEORIA.

Distribució Binomial, Normal i Inferència estadística MACS 2n Batxillerat E v e l i n Q u e r a l P à g i n a 14 " 17 EXEMPLE: les puntuacions de Matemàtiques en una universitat segueixen una distribució normal amb una desviació típica de 2 punts. Troba l'interval de confiança per a la punció mitjana amb un nivell de significació del 5% si en una mostra de 25 alumnes aquesta puntuació mitjana ha estat de 5,3 punts. Comprensió: Coneixem la puntuació mitjana d'una mostra d'alumnes i el valor de del conjunt de la població. Volem saber quin és l'interval de confiança entre el qual es trobarà la mitjana de tota la població si assumim un determinat nivell de significació.

CAS DE MOSTRES NORMALS AMB és DESCONEGUDA: Volem estimar la mitjana μ d'una població. En aquest cas, recorrem a una mostra de mida n i calculem la mitjana mostral ̅ (estimador de μ), i la desviació típica mostral S (estimador de σ) Així, l'interval de confiança passa a ser: ( ) = ( ˉ /2 , ˉ + /2 ) EXEMPLE: Una editorial està fent un estudi sobre el valor mitjà de vendes per treballador comercial de la seva plantilla.

Per fer-ho, es prenen com a mostra 36 venedors i s'observen les vendes següents de cadascun en milers d'euros: 5,2; 4,7; 5,4; 4,9; 4,8; 5,0; 4,7; 5,3; 5,1; 4,9; 5,2; 4,6; 5,0; 5,4; 4,8; 4,8; 5,1; 5,0; 4,6; 4,9; 5,3; 4,7; 4,4; 5,3; 5,1; 5,5; 5,1; 4,8; 4,7; 5,2; 4,8; 4,5; 5,4; 5,0; 4,6; 4,9 Troba l'interval de confiança per al valor mitjà de vendes amb un nivell de confiança del 90 %. Comprensió. Volem calcular l'interval de confiança de les vendes mitjanes d'una plantilla amb un determinat nivell de confiança. Per fer-ho, disposem d'una mostra amb la desviació σ desconeguda. Resolució.

Sabem que la mida de la mostra és n = 36, i el nivell de confiança 1 α = =0,9 Calculem x̄ i σ a partir de les dades de la mostra: x̄ = 4,96 i σ = 0,28. Com que n = 36 30, podem considerar que un estimador de σ σ = 0,28. A les PAU ens donarien la dada ( 1,65 < < 1,65) = 0,9, però als exercicis de classe haureu de buscar a la taula el valor crític com hem explicat anteriorment, i obtindríem: z / = 1,65 Així, doncs, l'interval de confiança buscat és: Per tant, les vendes mitjanes dels treballadors estaran entre 4,883 i 5,037 milers d'€ en un 90% de seguretat. TEORIA.

Distribució Binomial, Normal i Inferència estadística MACS 2n Batxillerat E v e l i n Q u e r a l P à g i n a 15 " 17 5.2.3 Interval de confiança per a la proporció Es vol estimar la proporció d'individus amb una certa característica en una població. Per fer-ho, es recorre a una mostra de mida , en la qual s'obté una proporció mostral ̂. Per poder aproximar la distribució a una normal, cal que: np 3 i nq 3 i, per assegurar una bona aproximació: 30.

En aquest cas la proporció mostral L'interval de confiança amb un nivell de confiança 1 = (0, 1) ve donat per: ( ) = ( ̂ /2 ̂(1 ̂) , ̂ + /2 ̂(1 ̂) ) EXEMPLE: Per a estudiar la proporció de malalts d'hepatitis que es poden curar mitjançant l'aplicació d'un nou tractament, s'aplica aquest tractament a 100 pacients. Si sabem que 87 pacients s'han curat, troba l'interval de confiança per a la proporció d'efectivitat amb un nivell de significació de l'1% i un nivell de significació del 5%. Comprensió: es vol mesurar l'efectivitat del tractament per a l'hepatitis; per fer-ho, hem de trobar, a partir de les dades d'una mostra, l'interval de confiança per a dos nivells de significació.

Resolució: Com podem observar, com més gran sigui el nivell de confiança exigit (més petit ), més gran haurà de ser l'interval resultant. 5.3 ERROR DE L'ESTIMACIÓ I MIDA MOSTRAL Cal esperar que la fiabilitat de les estimacions sigui més gran com més gran sigui la mostra, ja que d'aquesta manera cometrem un error d'estimació més petit respecte del valor real del paràmetre. De vegades, condicionants econòmics o operatius de temps no permeten treballar amb mostres gaire grans. La mida de la mostra es tria en funció de l'error màxim que vulguem assumir en les estimacions que fem a partir de la mostra.

Com més gran sigui la mida de la mostra, menys error d'estimació assumim respecte del valor real del paràmetre. L'error d'estimació és el valor absolut de la diferència entre un estimador i el paràmetre. TEORIA. Distribució Binomial, Normal i Inferència estadística MACS 2n Batxillerat E v e l i n Q u e r a l P à g i n a 16 " 17 De forma general, volem aproximar el paràmetre poblacional λ utilitzant l'estimador S. Per a tenir una mesura de la fiabilitat d'aquesta estimació, considerem l'interval de confiança per al paràmetre amb un nivell de confiança 1 = (0, 1) .

Com que l'interval és: Iα(λ̂) = [λ̂ zα/2 · σS, λ̂ + zα/2 · σS] Els errors màxims en els I la probabilitat: P(λ̂ zα/2 · σS λ λ̂ + zα/2 · σS ) = 1 – α = casos estudiats són: Aleshores: "λ λ̂" zα/2 · σS Per tant, l'error màxim que cometrem aproximant λ per λ̂ és: E = zα/2 · σS on σS depèn de n. L'error estimat augmenta o disminueix segons la mida n de la mostra. EXEMPLE: Per a conèixer el quocient intel·lectual dels estudiants d'una universitat, de quina mida convé prendre la mostra perquè, amb una confiança del 98%, la mitjana mostral i la poblacional no difereixin en més de 3 punts? Sabem que la desviació típica poblacional és de 15 punts. Comprensió.

Volem que, un cop fixat un grau de confiança, l'error del nostre estudi no superi una determinada fita. Aquesta fita depèn de σ, que, al seu torn, depèn de n. Podem determinar la mida de la mostra que faci que la nostra fita d'error no se superi, a partir de la fórmula de l'error màxim. Dades: 1 α = 0,98 i E = 3 Resolució. A partir de les taules de la distribució normal tipificada, per a 1 α = 0,98, podem deduir que α = 0,02. Per tant: [ ] = = 2 0,02 2 = 0,99 i si busquem a la taula de la normal trobem que = 2,33. A la fórmula de l'error màxim coneixem tots els valors tret de la mida de la mostra n.

Substituint a la fórmula tenim: E = · = 2,33 · 15 = 2,33·15 3 = 11,65 n =135,72 Com que n ha de ser enter, prenem n = 136 estudiants. Hem aproximat per excés perquè l'error màxim sigui una mica més petit que la comanda i no una mica més gran. TEORIA. Distribució Binomial, Normal i Inferència estadística MACS 2n Batxillerat E v e l i n Q u e r a l P à g i n a 17 " 17