Apunts de Matrius

I 42 flashcards i 28 preguntes més al document.

Text del document

2n Batxillerat de Ciències Socials Tema 1. Matrius INS Pau Vila 1 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila Índex 1 Matrius 4 1.1 Classificació de matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tipus de matrius quadrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Operacions amb matrius 6 2.1 Suma de matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Producte d'una matriu per un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Producte d'una matriu fila per una matriu columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.4 Producte de dues matrius . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.5 Expressió matricial d'un sistema d'equacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.6 Potències de matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Matriu inversa 10 4 Equacions matricials 12 4.1 Resolució assignant incògnites als elements de la matriu . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Resolució amb la inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 Sistemes de matrius 15 6 Problemes amb matrius 18 7 Exercicis 19 2 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila Tema 1. Matrius Activitat inicial 0.1: Ordenació de dades 1.

Un constructor fa una urbanització amb tres tipus d'habitatges: S (senzills), N (normals) i L (luxe). Cada habitatge senzill te 1 finestra gran, 7 mitjanes i 1 petita. Cada habitatge normal te 2 finestres grans, 9 mitjanes i 2 petites i cada habitatge de luxe te 4 finestres grans, 10 mitjanes i 3 petites. Cada finestra gran te 4 vidres i 8 frontisses, ca- da finestra mitjana te dos vidres i 4 frontisses i cada finestra petita te 1 vidre i 2 frontisses. (a) Escriu en una taula ordenada les dades que descriuen el nombre i la mida de les finestres en cada tipus d'habitatge; i una altra taula que expressi el nombre de vidres i el nombre de frontisses en cada tipus de finestra.

(b) Calcular el nombre de vidres i de frontisses necessàries en cada tipus d'habitatge. 2. En una fàbrica d'acer es fabriquen tres tipus de productes: acer en làmines, en rotllos o especials. Per a la seva fabricació, aquests productes necessiten: ferralla, carbó i aliatge en les quantitats següents: per cada unitat d'acer en làmines calen 8u de ferralla, 6u de carbó i 2u d'aliatge; per cada untat d'acer en rotllo es necessiten 6u de ferralla, 6u de carbó i una unitat d'aliatge i per cada unitat d'acer especial calen 6u de ferralla, 4u de carbó i 3u d'aliatge. (a) Posa adequadament aquestes dades en una taula.

(b) Si durant el pròxim mes es volen fabricar 6 unitats d'acer en làmines, 4 unitats d'acer en rotllos i 3 unitats d'acers especials, quines quantitats de ferralla, carbó i aliatge seran necessàries? (c) Si es disposen de 34 unitats de ferralla, 28 de carbó i 9 d'aliatges, quantes unitats de cada tipus d'acer es podran fabricar amb aquests materials? 3. Una empresa produeix tres articles: A, B i C. Els preus de cost per unitat són 32€, 46€ i 71€, respectivament, i els preus de venda de cada unitat són 53€, 82€ i 140€. El nombre d'unitats venudes anualment d'aquests articles és 2100, 1400 i 900 respectivament.

Determina la matriu fila de costos per unitat, la matriu fila de vendes per unitat, la matriu fila de beneficis per unitat, la matriu columna d'unitats venudes i el benefici anual obtingut. 3 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila 1 Matrius Una matriu de m files i n columnes és una taula de m x n nombres reals ordenats en m files i n columnes. A = a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn Els nombres aij són els elements de la matriu, on el subı́ndex i indica la fila que ocupa i el subı́ndex j la columna. La dimensió o ordre d'una matriu de m files i n columnes és m x n Exemple 1.1: Ordre en les matrius a) A = 1 2 0 4 ! A és una matriu de dimensió 2 x 2.

a11 = 1 a12 = 2 a21 = 0 a22 = 4 b) B = 1 2 0 1 4 1 5 0 2 3 1 1 La matriu B és de dimensió 4 x 3 Dues matrius són iguals si tenen la mateixa dimensió i, a més a més, els elements coincideixen terme a terme. Activitat 1.1: Elements d'una matriu 1. Donada la matriu A = 2 5 1 π 3 27 8 1 5 0 1 1 5 3 2 indica'n: a) la dimensió b) els elements a11, a23 i a34 c) la quarta columna d) la primera fila 2. Determina els valors de a, b, c i d, perquè aquestes dues matrius siguin iguals A = a + 1 2a + 1 2 c 2 3 a 6 ! B = 3 b + 1 d 1 2c 1 b + 2 ! 4 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila 1.1 Classificació de matrius Una matriu fila és una matriu amb una sola fila i n columnes.

La seva dimensió és 1 x n Una matriu columna és una matriu amb m files i una sola columna. La seva dimensió és m x 1 Una matriu nul·la o matriu zero és una matriu en què tots els elements són 0. Una matriu rectangular és una matriu que té diferent nombre de files que de columnes. Una matriu quadrada és una matriu que té el mateix nombre de files que de columnes. La seva dimensió és n x n. Quan una matriu és quadrada en comptes de dimensió parlem d'ordre, direm que és d'ordre n. La matriu transposada At d'una matriu A és la que s'obté intercanviant les seves files per les seves columnes.

1.2 Tipus de matrius quadrades La diagonal principal d'una matriu quadrada és la formada per tots els elements de la forma aii. Segons els elements que formen una matriu quadrada, aquesta pot ser: Matriu triangular superior Tots els elements situats per sota la diagonal principal són 0. A = a11 a12 ... a1n 0 a22 ... a2n ... ... ... ... 0 0 ... ann Matriu triangular inferior Tots els elements situats per sobre la diagonal principal són 0. A = a11 0 ... 0 a21 a22 ... 0 ... ... ... ... an1 an2 ... ann Matriu diagonal Tots els elements situats fora de la diagonal són 0. A = a11 0 ... 0 0 a22 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ...

ann Matriu identitat o matriu unitat Tots els elements situats a la diagonal principal són 1 i la resta 0. A = 1 0 ... 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... 1 5 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila Activitat 1.2: Tipus de matrius 1. Escriu dos exemples de dimensió diferent per a cada tipus de matriu a) matriu fila b) matriu columna c) matriu diagonal d) matriu identitat e) matriu triangular superior 2. Calcula la transposada de la matriu A = 1 2 0 4 0 1 2 Operacions amb matrius 2.1 Suma de matrius Per tal que dues matrius es puguin sumar han de tenir la mateixa dimensió.

Donades dues matrius del mateix ordre A = (aij) i B = (bij), la matriu suma de A i B és la que s'obté de la suma de cada terme de A amb el corresponent de B: A + B = (aij + bij) Exemple 2.1: Operacions amb matrius A = 1 2 3 0 4 1 0 1 5 B = 1 2 0 1 4 1 5 0 2 A + B = 1 + 1 2 + ( 2) 3 + 0 0 + ( 1) 4 + 4 + ( 1) 0 + 5 1 + 0 5 + ( 2) = 2 0 3 1 8 2 5 1 3 2.2 Producte d'una matriu per un nombre El producte d'un nombre real k per una matriu A és una altra matriu de la mateixa dimensió que A, els elements de la qual s'obtenen en multiplicar cadascun dels elements d'A pel nombre k. Exemple 2.2: Producte d'una matriu per un nombre A = 5 2 1 1 3 4 ! , 3A = 15 6 3 3 9 12 !

2.3 Producte d'una matriu fila per una matriu columna El producte d'una matriu fila per una matriu columna és un nombre que s'obté en multiplicar els seus elements, terme a terme, i sumar els resultats. 6 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila a11 a12 ... a1n · b11 b21 ... bn1 = a11 · b11 + a12 · b21 + ... + a1n · bn1 Exemple 2.3: Producte d'una matriu per una columna o fila 5 2 1 · 4 3 6 = 5 · 4 + 2 · ( 3) + 1 · 6 = 20 6 + 6 = 20 2.4 Producte de dues matrius Només es poden multiplicar matrius si el número de columnes de la primera matriu coincideix amb el número de files de la segona. D'altra banda, si el producte A · B està definit, el producte B · A no té perquè estar-ho.

Am×n · Bn×p = Cm×p 7 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila Exemple 2.4: Producte de matrius Exemple 2.5: Producte de dues matrius 1 5 2 2 ! · 3 4 1 6 ! = 1 · 3 + 5 · 1 1 · 4 + 5 · 6 2 · 3 + 2 · 1 2 · 4 + 2 · 6 ! = 8 34 8 20 ! Activitat 2.1: Producte de dues matrius 1. Calcula, si es pot, 2 3 4 1 4 6 ! · 5 1 1 4 2 0 0 3 0 2. Calcula tots els productes que es puguin de les següents matrius A = 1 1 0 0 1 1 0 0 2 B = 3 1 0 0 2 1 ! C = 1 2 0 2 1 3 D = 5 1 2 0 ! 3. Donades les matrius A = 1 1 0 3 1 1 2 0 2 B = 1 5 2 3 1 1 4 7 2 Troba: a) 3A - B b) 5B + A · 2 c) A · B d) B · A e) Són commutatives les matrius A i B? Per què? 4. Donades les matrius A = 1 2 1 1 0 3 !

, B = (1 3 4) , C = 2 1 1 3 ! , D = 5 1 2 0 ! De les operacions següents, digues quines es poden realitzar i quines no. De les que es pugui, troba'n el resultat a) A+B b) A · C c) 2 · C + 3 · D d) B · At 5. Troba els valors d'a i b per tal que les matrius commutin A = 1 1 1 2 ! i B = 1 3 a b ! 8 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila 2.5 Expressió matricial d'un sistema d'equacions Un sistema d'equacions es pot escriure en forma de matriu. Donat un sistema de m equacions lineals amb n incògnites: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm L'expressió matricial queda convertida en un producte de matrius: a11 a12 ...

a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn · x1 x2 ... xn = b1 b2 ... bm Exemple 2.6: Expressió matricial d'un sistema d'equacions Donat el sistema: 3x + 2y z = 1 x 2y + 4z = 6 7x 3y 8z = 2 La seva expressió matricial és: 3 2 1 1 2 4 7 3 8 · x y z = 1 6 2 Activitat 2.2: Expressió matricial d'un sistema d'equacions 1. Escriu en forma de matriu el sistema següent: x + 3y z = 2 3y + z = 16 x 4y 4z = 2 2. Troba els valors de les incògnites que compleixen la següent igualtat de matrius: 1 2 3 1 2 1 3 1 4 · x y z = 2 0 1 2.6 Potències de matrius Per calcular una potència, el que cal fer és multiplicar la matriu tantes vegades com indica l'exponent.

A2 = A · A A3 = A2 · A = A · A · A An = A · A · A.... · A 9 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila Només podem fer potències de matrius quadrades Exemple 2.7: Potència de matriu Sigui la matriu A = 1 a 0 1 ! . Troba la matriu A2014 Per trobar una potència qualsevol d'una matriu, primer cal començar calculant A2, A3, A4... fins que trobem una relació que ens permeti generalitzar A2 = A · A = 1 2a 0 1 ! A3 = A2 · A = 1 3a 0 1 ! A4 = A3 · A = 1 4a 0 1 ! Observem que els resultats segueixen una pauta i només canvia l'element a12 Per tant, podem concloure que: A2014 = 1 2014a 0 1 ! Activitat 2.3: Potències de matrius 1. Sigui A = 0 1 1 0 !

a) Calcula A2 i expressa el el resultat en funció de la matriu identitat. b) Utilitza la relació anterior per calcular A2005 2. Calcula A20 sent A la matriu següent A = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 3. Sigui la matriu quadrada A = (aij) d'ordre 4, amb els seus elements definits per: aij = 0 si i = j 1 si i < j 1 si i > j (a) Escriu de forma explı́cita la matriu A (b) Calcula A2 (c) Calcula A3 3 Matriu inversa Una matriu A 1 és la matriu inversa de A si es compleix que: A · A 1 = A 1 · A = I Només existeixen inverses de matrius quadrades i que el rang sigui igual que la dimensió.

Calcular la matriu inversa aplicant la definició no és difı́cil i es redueix a fer un producte de matrius i 10 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila resoldre sistemes d'equacions: Passos per calcular la inversa En demanen trobar la matriu inversa de A = 1 1 0 1 ! - 0) El rang de la matriu és 2, perquè si l'esglaonem (de fet, ja ho és) té dues files diferents de zero. - 1) Assignem als elements de la matriu inversa (que desconeixem) lletres: a, b, c, .. A 1 = a b c d ! - 2) Plantegem la igualtat de la definició: A · A 1 = I 1 1 0 1 ! · a b c d ! = 1 0 0 1 ! - 3) Resolem el producte de matrius A · A 1 i igualem el resultat a la matriu identitat a + c b + d c d ! = 1 0 0 1 !

- 4) Igualem element a element. a+c=1 c=0 b+d=0 d=1 - 5) Resolem els sistemes que obtenim: a + c = 1 c = 0 ) = a=1 ; c=0 b + d = 0 d = 1 ) = d=1 ; b=-1 Per tant, la inversa és A 1 = 1 1 0 1 ! 11 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila Activitat 3.1: Matriu inversa 1. Calcula, si existeix, la inversa de les següents matrius A = 3 0 5 1 ! B = 1 2 2 4 ! 2. Siguin les matrius A = x 1 1 x + 1 ! B = 0 1 1 1 ! a) Troba el valor o valors de x de forma que B2 = A b) Igualment per tal que A I = B 1 c) Determina x para que A · B = I d) Hi ha algun valor de x pel qual la matriu A no tingui inversa? 3. Sigui la matriu A = 1 2 0 1 !

Troba les matrius B que commuten amb A; és a dir: A · B = B · A 4 Equacions matricials Les equacions matricials són equacions on una de les incògnites és una matriu. Alguns exemples són X+B=C AX+B=C XA+B=C AXB+C=D AX+BX+C=D A , B, C i D son matrius conegudes i X es la matriu incògnita. 4.1 Resolució assignant incògnites als elements de la matriu El procediment que seguirem serà el següent: Ens donen una equació matricial. Esbrinem la dimensió de la matriu incògnita. Assignem incògnites (a, b, c, ..) als elements de la matriu desconeguda. Expressem l'equació matricial amb matrius (amb els seus elements).

Resolem les operacions amb matrius, a esquerra i dreta del signe igual fins que ens quedi una sola matriu a banda i banda de la igualtat. Apliquem la igualtat de matrius: igualem element a element. Resolem les equacions resultants (normalment són equacions individuals de primer grau o grups 12 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila de sistemes d'equacions). Exemple 4.1: Equacions matricials Donades les matrius A = 0 1 0 1 0 1 ! i B = 3 1 1 2 ! resol la següent equació matricial A · At · X = B Deduı̈m que la matriu X és d'ordre 2 × 2 (perquè A · At és de 2x2 i B és també de 2x2) Assignem lletres als elements de la matriu X X = a b c d !

Expressem l'equació matricial A · At · X = B en forma de matrius amb tots els seus elements: 0 1 0 1 0 1 ! · 0 1 1 0 0 1 · a b c d ! = 3 1 1 2 ! Fem les operacions amb matrius. A l'esquerra de la igualtat cal fer un producte de matrius. A la dreta, res. A · At = 0 1 0 1 0 1 ! · 0 1 1 0 0 1 = 1 0 0 2 ! A · At · X = 1 0 0 2 ! · a b c d ! = a b 2c dd ! Plantegem la igualtat final: A · At · X = B a b 2c dd ! = 3 1 1 2 ! Igualem element a element: a = 3 a=3 b = 1 b=-1 2c = 1 c=1/2 2d = 2 d=1 Per tant, la matriu buscada és X = 3 1 1/2 1 !

4.2 Resolució amb la inversa És important recordar algunes propietats en què ens basarem: el producte de matrius no és commutatiu A · A 1 = I = A 1 · A A · R = A = I · A 13 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila Per resoldre les equacions matricials, primer aı̈llem la matriu incògnita i després realitzem les opera- cions amb matrius resultants.

Vegem amb alguns exemples d'equacions matricials, com aclarir la matriu incògnita: X + B = C Les matrius que estiguin sumant o restant podem passar-les a l'altre membre canviant de signe (igual que en les equacions amb nombres) X=C - B AX + B = C AX = C B Multipliquem per la inversa a l'esquerra en ambdós membres: A 1 · AX = A 1 · (C B) I · X = A 1 · (C B) X = A 1 · (C B) XA + B = C En aquest exemple s'ha de fer per la dreta XA = C B XA · A 1 = (C B) · A 1 X = (C B) · A 1 14 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila Activitat 4.1: Equacions amb matrius 1. Donades les matrius, resol l'equació matricial AX + 2B = At A = 1 1 0 1 ! B = 2 3 1 2 ! 2.

Es consideren les matrius A = 2 1 3 1 ! B = 4 20 16 5 ! a) Calcula A2 i (A2) 1 b) Aı̈lla X de l'equació matricial A2X = B C) Calcula X 3. Donades les matrius A = 0 1 0 1 0 1 ! B = 3 1 1 2 ! a) Calcula, si és possible, els següents productes: a1) A · At a2) At · A a3) A · B b) Resol l'equació A · At · X = B 5 Sistemes de matrius Per resoldre un sistema amb matrius, utilitzarem, si es pot, el mètode de reducció. 15 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila Exemple 5.1: Sistemes de matrius Calcula dues matrius quadrades A i B que compleixin el sistema d'equacions següent 2A + 3B = 4 5 2 1 ! A B = 3 0 1 2 !

Resolem el sistema per reducció, multiplicant la segona equació per 3 i sumant, obtenim 2A + 3B = 4 5 2 1 ! 3A 3B = 9 0 3 6 ! 5A = 5 5 5 5 ! I dividint tota l'expressió per 5, obtenim el valor d'A A = 1 1 1 1 ! Substituint el valor d'A a la segona equació inicial obtenim: A B = 3 0 1 2 ! 1 1 1 1 ! B = 3 0 1 2 ! B = 1 1 1 1 ! 3 0 1 2 ! = 2 1 0 1 ! 16 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila Activitat 5.1: Equacions amb matrius 1. Calcula dues matrius quadrades X i Y que compleixin el sistema d'equacions següent 2X Y = 2 3 3 5 ! X 3Y = 1 4 9 5 ! 2. Troba X i Y que compleixin el sistema d'equacions següent 3X 2Y = 7 3 16 4 ! X + 3Y = 6 12 2 27 ! 17 2n Batxillerat CCSS Tema 1.

Matrius INS Pau Vila 6 Problemes amb matrius Exemple 6.1: Problemes amb matrius La matriu següent expressa els preus unitaris, en euros, de quatre articles, A, B, C i D, procedents de les fàbriques f1, f2 i f3: 34 40 36 11 8 12 23 27 32 25 21 30 Si una comanda és representada per un vector fila C=( x y z t), Què representa cadascun dels elements del resultat del producte C · P ? Si volem comprar 25 unitats de A, 30 de B, 60 de C i 75 de D, quina de les fàbriques ens ofereix el millor preu?

C · P = (xyzt) · 34 40 36 11 8 12 23 27 32 25 21 30 = 34x + 11y + 23z + 25t 40x + 8y + 27z + 21t 36x + 12y + 32z + 30t Les tres columnes de la matriu producte C · P representen el preu total d'una comanda d'x unitats del producte A, y unitats de B, z unitats de C i t unitats de D segons sigui fabricada en la fàbrica 1, la fàbrica 2 o la fàbrica 3. Per acabar el problema mirem en el cas d'una comanda concreta on ( x y z t )=(25,30,60,75 ) canviem x, y, z, t pels valors donats i obtenim (4435, 4435, 5430) Per tant, en aquesta comanda concreta ens interessa qualsevol de les dues primeres fàbriques perquè amb ambdues surt el mateix preu total de 4435. 18 2n Batxillerat CCSS Tema 1.

Matrius INS Pau Vila 7 Exercicis 1. Digues si les següents matrius són iguals: A = 3 4 5 B = 3 4 5 2. Determina els valors z,y i x per tal que les matrius A i B siguin iguals: A = 1 3 5 2 4 x ! B = 1 3 y z 4 7 ! 3. Troba els valors d'a i b que fan que A=B A = 2 2a 1 a + b ! i B = a + b b a 1 2 ! 4. Calcula ( 4)A essent A la matriu següent: A = 3 1 4 2 2 1 Calcula també At 5. Donades les següents matrius: A = 5 4 3 1 0 1 ! B = 1 2 3 0 0 5 ! Troba: a) A + B b) 5A - 3B c) A · Bt d) B · A e) -2A + I f) A -2B + 3A · Bt 6. Donades les matrius A i B, A = 1 2 3 7 ! B = 3 1 4 5 ! calcula: a) A - B b) 3A + 2B c) A · B d) B · At e) A2 f) A3 2B2 + 3I 19 2n Batxillerat CCSS Tema 1.

Matrius INS Pau Vila 7. Calcula la matriu A · B si A = 8 5 4 2 1 3 ! B = 1 2 5 6 0 1 8. Calcula si és possible, A · B i B · A A = 1 3 6 B = 2 3 1 9. Calcula si és possible, A · B i B · A A = 1 2 1 3 0 1 ! B = 2 1 2 5 ! 10. Calcula si és possible, A · B i BT · AT A = 1 3 1 2 5 0 ! B = 0 1 1 5 1 2 1 2 3 11. Donades les matrius A = 2 x y + 1 0 ! B = 3 3 x 0 ! , troba tots els valors de x i y que fan 3A = 2B 12. Donades les matrius A = 3 1 1 4 0 3 B = 2 3 ! C = 0 1 3 Troba A · B + CT 13. Troba tots els productes possibles que es poden fer amb aquestes matrius: A = 1 2 1 3 7 0 0 2 1 B = 1 3 2 C = 2 1 0 1 0 3 ! 14. Donades les matrius A = 2 1 2 5 ! B = 0 3 2 3 ! , calcula At B2 15.

Escriu una matriu quadrada tal que aij = aij i, j 1, ..n 16. Donades les matrius d'ordre 3 A i B tals que A = (aij) i B = (bij) on aij = i j i bij = ( 1)i+j + 2j 1, troba la matriu A + B 17. Comprova si les matrius commuten: a) A = 1 2 3 7 ! B = 3 1 4 5 ! b) A = 2 1 0 3 ! B = 2 3 0 5 ! 18. Troba els valors d'a i b per tal que les matrius commutin A = 1 1 1 2 ! B = 1 3 a b ! 19. Calcula la potècia n-èssima de cada una de les matrius següents: 20 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila A = 1 1 0 1 ! B = 1 0 3 4 ! C = 1 1 1 1 ! D = 1 2 0 3 ! 20. Donada la matriu A = 1 0 0 1 ! , troba A2014 21. Donada la matriu A = a a a a ! , troba A2, A3, A3, An 22.

Una matriu és ortogonal si A · AT = AT · A = I Comprova si alguna d'aquestes matrius ho és: a) B = 1 0 0 1 ! b) C = 0 1 1 0 ! 23. Calcula les matrius inverses, si existeixen, de les matrius següents: A = 0 1 2 0 ! B = 1 2 4 8 ! C = 7 5 2 9 ! 24. Donades les matrius A = 1 2 1 0 ! B = 3 1 2 3 ! calcula (AB) 1, (AB)t, (BA) 1 25. Donades les següents matrius A = 4 3 5 4 ! B = 2 0 1 2 ! C = 1 1 2 1 ! Troba a) la matriu A que verifica A · X + B = C b) la matriu Y que verifica A · Y + B · Y = C 26. Donades les següents matrius A = 1 2 3 4 ! B = 5 0 3 7 ! resol l'equació 3 · (X + A) = 2 · (B X) 27. Donades les següents matrius A = 2 1 2 2 ! B = 4 3 4 4 0 1 resol l'equació X · A = B 28.

Troba la matriu X que compleix X · 1 2 4 8 ! = 3 4 29. Donades les següents matrius A = 1 0 1 1 ! B = 0 1 1 1 ! C = 1 1 1 1 ! Troba la matriu X que verifica A · X + B = C 30. Donada la matriu A = 2 x 0 x + 2 ! a) Troba tots els valors de x que verifiquen A2 = A 21 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila b) Per a x=-1, troba A 1 31. Troba el valor de a que fa que la matriu no tingui inversa A = 1 a 2 4 ! 32. Troba el valor de b que fa que B2 = I B = 1 0 1 b ! 33. Donada la matriu A = 1 2 3 1 ! comprova que sempre es compleix que (A + I)2 = 6I 34. Considereu les matrius: A = 2 1 1 1 ! B = 3 5 1 2 ! C = 1 0 2 1 ! a) Calculeu les matrius inverses de A i de B.

b) Determineu una matriu X de manera que A · X · B = C. 35. Determina els valors de m per els quals X = m 0 0 2 ! verifiqui X2 5 2 · X + I = 0, on I és la matriu identitat i 0 és la matriu nul.la . 36. Donada la matriu 2 x 2: X = a 3 2 4 ! Calcula el valors de a si saps que A · At és una matriu diagonal. 37. Considereu les matrius: A = 1 a 2 a ! B = b c 1 1 ! a) Calculeu les matrius A+B i A · B . b) Determineu els valors de a, b i c que fan que i A + B = A · B. 38. Considereu les matrius: A = x 1 1 x + 1 ! B = 0 1 1 1 ! a) Trobeu el valor o valors de x que fan que A = B2. b) Determineu x per tal que I = A · B. 39. Determina x i y que fan 40. Resol l'equació XAB XC = 2C A = 1 2 0 3 !

B = 2 1 1 2 ! C = 0 1 1 2 ! 22 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila 41. Resol el següent sistema 3X 2Y = 1 0 5 9 ! 2X + Y = 3 1 1 0 ! 42. Resol el sistema 2X = 3Y + 18 5 2 4 ! 3X 5Y = 11 2 3 25 ! 43. Resol el sistema 2X 3Y = 1 5 4 2 ! X Y = 1 0 3 6 ! 44. Resol el sistema X + Y = 2 1 3 0 ! X = Y + 6 2 0 1 ! 45. Siguin les matrius A = A = 3 1 0 2 1 5 ! B = 3 4 2 2 1 8 ! Troba les matrius X i Y que verifiquen que 3X + Y=A i que 4X= B - 2Y 46. Troba les matrius X i Y, quadrades d'ordre 2, que resolguin el sistema 2X + Y = A2 X = Y + A 1 ) sent X = 1 0 1 2 ! 47.

En una acadèmia d'idiomes s'impartixen anglès i alemany en quatre nivells i dues modalitats: grups reduı̈ts i grups normals. La matriu A = 130 160 120 80 210 130 100 60 expressa el nombre de persones, segons el tipus de grup, on la primera columna correspon als cursos d'anglès, la segona als d'alemany i les files, als nivells primer, segon, tercer i quart respectivament. Les columnes de la matriu B = 0.2 0.25 0.4 0.75 0.8 0.75 0.6 0.25 ! reflectixen el tant per u d'estudiants (comú per a ambdós idiomes) que seguixen curs reduı̈t (primera fila) i curs normal (segona fila) para cada un dels nivells. a) Troba la matriu que proporciona el nombre d'estudiants per modalitat i idioma.

b) Sabent que l'acadèmia cobra 30 euros per persona en grups reduı̈ts i 20 euros per persona en grup normal, troba la quantitat que obté l'acadèmia en cada un dels idiomes. 23 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila 48. Tres escriptors presenten a l'editor, en acabar l'enciclopèdia, la minuta que es recull en la taula adjunta: L'editor paga l'hora de treball a 75 euros, la conferència a 300 euros i el viatge a 250 euros. Si només pensa pagar el 30% a l'escriptor A, el 20% al B i el 10% al C, escriu en forma de matriu, la despesa que tindrà l'editor per cada escriptor? 49. Un fabricant produeix tres tipus de claus: d'alumini (A), de coure (Q) i d'acer (H).

Tots ells es fabriquen en longituds d'1; 1'5; 2 i 2'5 centı́metres amb els preus respectius següents: Claus A: 0'02 € 0'03 € 0'04 € 0'05 € Claus Q: 0'03 € 0'045 € 0'06 € 0,075 € Claus H: 0'04 € 0'06 € 0'08 € 0'1 € Sabent que en un minut es produeixen: D'1 cm de longitud: 100 A 50 Q 700 H De 1'5 cm de longitud: 200 A 20 Q 600 H De 2 cm de longitud: 500 A 30 Q 400 H De 2'5 cm de longitud: 300 A 10 Q 800 Es demana: a) Resumir la informació anterior en dues matrius M i N. M serà una matriu de 3x4 que reculli la producció per minut i N una matriu 4x3 que reculli els preus. b) Calcular els elements de la diagonal principal de la matriu M.N i donar el seu significat.

c) Fer el mateix per a la matriu N.M 50. Un comerciant treballa amb dues marques de conserves A i B. De la marca A ven diàriament 48 llaunes de sardines, 62 llaunes de bonı́tol i 30 llaunes d'escopinyes. Al seu torn de la marca B ven diàriament 30 llaunes de sardines, 84 de bonı́tol i 26 d'escopinyes. Calcular la matriu que ens doni el nombre de llaunes que es venen diàriament. Si el supermercat tanca els dissabtes a la tarda i la venda del matı́ és la meitat de la venda diària i els diumenges tanca tot el dia, sabries trobar la matriu que ens relaciona la venda de llaunes en una setmana? 51. Una fàbrica produeix dos models de rentadores, A i B, en tres acabats: N, L i S.

Produeix del model A: 400 unitats en l'acabat N, 200 unitats en l'acabat L i 50 unitats en l'acabat S. Produeix del model B: 300 unitats en l'acabat N, 100 en la L i 30 en la S. L'acabat N requereix 25 hores de taller i 1 hora d'administració. L'acabat L requereix 30 hores de taller i 1,2 hores d'administració. L'acabat S requereix 33 hores de taller i 1,3 hores d'administració. a) Representa la informació en dues matrius. b) Troba una matriu que expressi les hores de taller i d'administració empleades per a cada un dels models. 52. Una empresa fabrica tres tipus d'articles: A, B i C. Els preus de cost de cada unitat són 6, 9'2 i 14'3 euros, respectivament.

Els corresponents preus de venda d'una unitat de cada article són 18, 28 i 40 euros. El nombre d'unitats venudes anualment és de 2.240, 1.625 i 842 respectivament. Sabent que les matrius de costos i ingressos, C i I, són diagonals i que la matriu de vendes, V, és una matriu fila, es demana: 24 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila a) Determinar les matrius C, I i V. b) Obtenir, a partir de les matrius anteriors, la matriu d'ingressos anuals corresponent als tres articles, la matriu de despeses anuals i la matriu de beneficis anuals. 53. Certa fàbrica de colònies posseeix tres marques X, Y, Z, distribuint la seva producció en quatre botigues.

Els litres emmagatzemats a la primera botiga són expressats per la següent matriu: La segona botiga emmagatzema el doble que la primera, la tercera la meitat i la quarta el triple Quin volum de producció es té emmagatzemada en total? 54. Una empresa fabrica joguines de tres tipus diferents T1, T2 i T3. Els preus de cost de cada joguina i els ingressos que obté l'empresa per cada joguina venuda són expressats per la taula següent: T1 T2 T3 Preu de cost 4€ 6€ 9€ Ingrés 10€ 16€ 24€ El nombre de vendes és de 4500 joguines del tipus T1, 3500 del T2 i 1500 del T3.

Determina les matrius C, I i V, sabent que la matriu de costos C i la matriu d'ingressos I són matrius diagonals i que la de vendes V és una matriu fila. Obté, utilitzant les matrius anteriors, una matriu de costos anuals, per als tres tipus de joguines. 55. Una fàbrica produeix dos models de cotxes A i B, en tres acabats: GX, GD i Ti. Produeix, al mes, del model A: 200, 100 i 50 unitats en els acabats GX, GD i Ti, respectivament. Produeix del model B: 150, 50 i 10 unitats d'anàlegs acabats. L'acabat GX porta 25 hores de taller de xapa i 10 hores de muntatge.

L'acabat GD porta 28 hores de taller de xapa i 12 de muntatge i l'acabat Ti porta 28 i 15 hores de xapa i muntatge, respectivament. (A) Elabora dues matrius que continguin la informació donada. (B) Calcula les hores totals de taller de xapa i de muntatge que són necessàries per fabricar tots els cotxes en cada un dels models. 56. Els enviaments humanitaris, en tones, de cert paı́s, a tres nacions del Tercer Món A, B, C, cadascun dels anys 1994 i 1995, es descriuen a la següent matriu: 25 2n Batxillerat CCSS Tema 1. Matrius INS Pau Vila S'estima que el valor de cada tona (en dòlars) d'aquests articles ha estat: Calcula: a) El valor de l'ajuda rebuda per cada paı́s, en aquests anys.

b) El valor total de l'ajuda enviada a 1995. 57. Un hipermercat vol oferir tres classes de safates: A, B i C. La safata A conté 40 g de formatge manxec, 160 g de roquefort i 80 g de camembert; la safata B conté 120 g de cadascun dels tres tipus de formatge anteriors; i la safata C, conté 150 g de formatge manxec, 80 g de roquefort i 80 g de camembert. Si es vol treure a la venda 50 safates del tipus A, 80 de B i 100 de C, aconsegueix matricialment la quantitat que necessitaran, en quilograms de cadascuna de les tres classes de formatges. 26