La Distribució Binomial
Flashcards
- Què és un experiment que segueix el model de la distribució binomial?
- Un experiment aleatori amb dos únics successos, èxit i fracàs.
- Quines són les probabilitats dels dos únics successos en un experiment binomial?
- La probabilitat d'èxit (p) i la probabilitat de fracàs (q), on q = 1 - p.
- Què representa la variable X en una distribució binomial?
- La variable aleatòria discreta X: «nombre d'èxits».
- Què representen els paràmetres n i p en una distribució binomial B(n, p)?
- n és el nombre de vegades que es realitza l'experiment (nombre de proves independents) i p és la probabilitat d'èxit per a n = 1.
Preguntes tipus test
- En una distribució binomial, què representa la variable aleatòria discreta X?
- a) El nombre total de proves realitzades.
- b) La probabilitat de fracàs en una prova.
- c) El nombre d'èxits en les proves realitzades.
- d) La probabilitat que l'experiment no es pugui realitzar.
Resposta: c) El nombre d'èxits en les proves realitzades.. La variable aleatòria discreta X en una distribució binomial es defineix com el «nombre d'èxits» obtinguts en un experiment amb proves independents.
- Quina de les següents és una característica essencial d'una distribució binomial?
- a) La probabilitat d'èxit (p) és constant en cada prova.
- b) Les proves són dependents entre si.
- c) Hi ha més de dos resultats possibles per a cada prova.
- d) El nombre de proves (n) pot variar durant l'experiment.
Resposta: a) La probabilitat d'èxit (p) és constant en cada prova.. La probabilitat d'èxit (p) ha de ser la mateixa en cada prova i les proves han de ser independents entre elles, a més de tenir només dos resultats possibles (èxit o fracàs).
- En la notació B(n, p) d'una distribució binomial, què significa 'n'?
- a) La probabilitat de fracàs.
- b) El nombre de proves independents.
- c) El nombre d'èxits esperats.
- d) La desviació típica de la distribució.
Resposta: b) El nombre de proves independents.. En el model de la distribució binomial B(n, p), 'n' representa el nombre total de vegades que es realitza l'experiment, és a dir, el nombre de proves independents.
Característiques de la distribució binomial
Flashcards
- Quines són les dues categories de resultat per a cada prova en una distribució binomial?
- Èxit o fracàs.
- Com ha de ser la probabilitat d'èxit en cada prova d'una distribució binomial?
- La probabilitat d'èxit (p) és la mateixa en cada prova.
- Què representa el paràmetre 'n' en la distribució binomial B(n, p)?
- El nombre de proves independents que es realitzen en l'experiment.
- Quina és la fórmula per calcular l'esperança (mitjana) en una distribució binomial?
- μ = np
Preguntes tipus test
- Quina de les següents NO és una característica de la distribució binomial?
- a) Cada prova té dos resultats possibles.
- b) La probabilitat d'èxit varia en cada prova.
- c) Les proves són independents entre elles.
- d) El nombre de proves és fix.
Resposta: b) La probabilitat d'èxit varia en cada prova.. Una característica fonamental de la distribució binomial és que la probabilitat d'èxit (p) ha de ser constant per a cada prova, no pot variar.
- En una distribució binomial B(n, p), què representa el paràmetre 'p'?
- a) El nombre de proves.
- b) La probabilitat de fracàs.
- c) La probabilitat d'èxit en una sola prova.
- d) El nombre esperat d'èxits.
Resposta: c) La probabilitat d'èxit en una sola prova.. En la notació B(n, p) d'una distribució binomial, 'p' representa específicament la probabilitat d'èxit en una única prova.
- Si un experiment binomial es realitza 'n' vegades i 'p' és la probabilitat d'èxit, quina és la fórmula per a l'esperança (mitjana)?
- a) npq
- b) √(npq)
- c) np
- d) n/p
Resposta: c) np. L'esperança (o mitjana) d'una distribució binomial es calcula multiplicant el nombre de proves (n) per la probabilitat d'èxit (p), és a dir, μ = np.
Funció de probabilitat d'una distribució binomial
Flashcards
- Què representa la variable aleatòria discreta X en una distribució binomial?
- El nombre d'èxits en una sèrie de proves independents.
- Quins són els paràmetres d'una distribució binomial B(n, p)?
- Són n (el nombre de proves) i p (la probabilitat d'èxit per a n=1).
- Què representa la lletra 'k' en la funció de probabilitat P[X = k]?
- Indica el nombre d'èxits que es vol calcular la probabilitat, des de 0 fins a n.
- Quina és la fórmula de la funció de probabilitat d'una distribució binomial?
- P[X = k] = (n sobre k) * p^k * q^(n-k), on q = 1-p.
Preguntes tipus test
- En la funció de probabilitat d'una distribució binomial, què indica la lletra 'k'?
- a) El nombre total de proves.
- b) La probabilitat de fracàs.
- c) El nombre d'èxits que es vol calcular la probabilitat.
- d) La probabilitat d'èxit.
Resposta: c) El nombre d'èxits que es vol calcular la probabilitat.. La lletra 'k' en la funció de probabilitat P[X = k] es refereix específicament al nombre d'èxits que s'estan considerant en un càlcul de probabilitat donat.
- Quina de les següents expressions correspon a la funció de probabilitat d'una distribució binomial?
- a) P[X = k] = (n sobre k) * p^k * (1-p)^(n-k)
- b) P[X = k] = n * p * k
- c) P[X = k] = (p + q)^k
- d) P[X = k] = n * p * q
Resposta: a) P[X = k] = (n sobre k) * p^k * (1-p)^(n-k). La fórmula de la funció de probabilitat d'una variable aleatòria discreta X que segueix una distribució binomial B(n, p) és P[X = k] = (n sobre k) * p^k * (1-p)^(n-k).
- Segons les propietats de la funció de probabilitat d'una distribució binomial, a què és igual la suma de P[X = i] per a i des de 0 fins a n?
- a) La suma de totes les probabilitats és igual a n.
- b) La suma de totes les probabilitats és igual a 1.
- c) La suma de totes les probabilitats és igual a p.
- d) La suma de totes les probabilitats és igual a k.
Resposta: b) La suma de totes les probabilitats és igual a 1.. La funció de probabilitat d'una distribució binomial verifica que la suma de totes les probabilitats de tots els possibles valors d'èxits (des de 0 fins a n) és igual a 1, com es demostra amb (p + q)^n = 1^n = 1.
Funció de distribució d'una distribució binomial
Flashcards
- Què representa la funció de distribució F(x) en una distribució binomial?
- La funció de distribució F(x) d'una variable aleatòria binomial X assigna a cada valor real 'x' la probabilitat que la variable X prengui valors més petits o iguals que 'x'.
- Quina és la fórmula general de la funció de distribució F(x) per a una distribució binomial?
- La fórmula és F(x) = P[X ≤ x] = P[X = 0] + P[X = 1] + ... + P[X = k], que es pot expressar com la suma des de i=0 fins a k de (n sobre i) * p^i * q^(n-i).
- Què significa 'x' en l'expressió F(x) = P[X ≤ x]?
- En F(x) = P[X ≤ x], 'x' és un valor real que representa el límit superior per al nombre d'èxits que estem considerant.
- Com es relaciona la funció de distribució amb la funció de probabilitat en una distribució binomial?
- La funció de distribució F(x) acumula les probabilitats de la funció de probabilitat P[X=k] per a tots els valors de 'k' des de 0 fins a 'x'.
Preguntes tipus test
- Quina de les següents opcions descriu millor la finalitat de la funció de distribució F(x) en una distribució binomial?
- a) Calcula la probabilitat d'exactament 'x' èxits.
- b) Calcula la probabilitat d'almenys 'x' èxits.
- c) Calcula la probabilitat d'obtenir com a màxim 'x' èxits.
- d) Calcula el nombre esperat d'èxits.
Resposta: c) Calcula la probabilitat d'obtenir com a màxim 'x' èxits.. La funció de distribució F(x) es defineix com P[X ≤ x], la qual cosa significa la probabilitat que la variable X prengui valors menors o iguals que 'x'. Això es coneix com la probabilitat 'com a màxim'.
- La fórmula de la funció de distribució F(x) implica una sumatòria des d'i=0 fins a 'k'. Què representa 'k' en aquest context?
- a) El nombre total de proves.
- b) El nombre màxim d'èxits considerats en la suma acumulada.
- c) La probabilitat d'èxit.
- d) La probabilitat de fracàs.
Resposta: b) El nombre màxim d'èxits considerats en la suma acumulada.. En la fórmula de la funció de distribució F(x) = ΣP[X=i] des de i=0 fins a k, 'k' representa el nombre màxim d'èxits fins al qual s'estan acumulant les probabilitats. És el valor de 'x' quan 'x' és un enter.
- Si una variable X segueix una distribució binomial B(n, p) i necessitem trobar la probabilitat d'obtenir més de 'k' èxits, quina expressió seria correcta utilitzant F(x)?
- a) 1 - F(k)
- b) F(k)
- c) 1 - P[X=k]
- d) F(k-1)
Resposta: a) 1 - F(k). La probabilitat d'obtenir més de 'k' èxits (P[X > k]) és el complement de la probabilitat d'obtenir 'k' èxits o menys (P[X ≤ k]). Per tant, P[X > k] = 1 - P[X ≤ k], i P[X ≤ k] és la funció de distribució F(k).
Activitats de Pràctica
Flashcards
- Quines són les característiques principals d'una distribució binomial?
- Una distribució binomial es caracteritza per tenir només dos successos possibles (èxit o fracàs) en cada prova, una probabilitat d'èxit constant per a cada prova, i un nombre n de proves independents.
- Quins són els paràmetres 'n' i 'p' en una distribució binomial?
- Els paràmetres d'una distribució binomial són 'n', que representa el nombre de vegades que es realitza l'experiment (o el nombre de proves), i 'p', que és la probabilitat d'èxit per a una única prova.
- Com es calcula la probabilitat de fracàs ('q') si coneixem la probabilitat d'èxit ('p')?
- Si 'p' és la probabilitat d'èxit, la probabilitat de fracàs és 'q', i es calcula com 1 - p.
- Què ens indica la funció de probabilitat d'una distribució binomial?
- La funció de probabilitat d'una distribució binomial (P[X=k]) dóna la probabilitat d'obtenir exactament 'k' èxits en 'n' proves.
Preguntes tipus test
- Quina de les següents afirmacions és una característica de la distribució binomial?
- a) El resultat de cada prova pot ser èxit, fracàs o neutre.
- b) La probabilitat d'èxit pot variar en cada prova.
- c) Les proves són independents entre si.
- d) El nombre de proves és aleatori.
Resposta: c) Les proves són independents entre si.. Una característica fonamental de la distribució binomial és que hi ha un nombre fix de proves (n) i que aquestes proves són independents entre si, és a dir, el resultat d'una prova no afecta el de les altres. La probabilitat d'èxit (p) també ha de ser constant en totes les proves. Que el nombre de proves sigui aleatori no és una característica d'aquest tipus de distribució.
- En la notació B(n, p) d'una distribució binomial, què representen 'n' i 'p'?
- a) n és la probabilitat de fracàs i p és el nombre d'èxits.
- b) n és el nombre de proves i p és la probabilitat d'èxit.
- c) n és el nombre d'èxits i p és el nombre de proves.
- d) n és la variància i p és l'esperança.
Resposta: b) n és el nombre de proves i p és la probabilitat d'èxit.. En una distribució binomial B(n, p), 'n' representa el nombre total de proves o experiments que es realitzen, mentre que 'p' és la probabilitat d'èxit en una única prova. La probabilitat de fracàs es deriva de 'p' (q=1-p) i 'k' és el nombre d'èxits que es vol calcular.
- Un examen tipus test consta de deu preguntes, cadascuna amb quatre respostes possibles, de les quals només una és correcta. Si un alumne respon a l'atzar, quin és el valor esperat de respostes correctes?
- a) 2.5
- b) 5
- c) 0.25
- d) 10
Resposta: a) 2.5. L'esperança (o valor esperat) d'una distribució binomial es calcula multiplicant el nombre total de proves (n) per la probabilitat d'èxit (p). En aquest cas, n=10 (preguntes) i p=0.25 (probabilitat d'encertar a l'atzar), per tant, E(X) = 10 * 0.25 = 2.5.
I 30 flashcards i 20 preguntes més al document.
Text del document
Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials UD7. Distribucions de probabilitat A2. LA DISTRIBUCIÓ BINOMIAL Considerem un experiment aleatori qualsevol, amb dos únics successos i , als quals anomenarem èxit i fracàs , respectivament.
La probabilitat de cadascun d'aquests successos és: i ( ) = ( ) = 1 ( ) = 1 = Si definim la variable aleatòria discreta X: «nombre d'èxits», en una distribució binomial la funció de probabilitat és: i [ = 1 ] = [ = 0 ] = Quan un experiment d'una variable aleatòria discreta X es realitza un determinat nombre n de vegades, que constitueix un nombre n de proves independents, es diu que és un experiment que segueix el model de la distribució binomial B(n, p) i s'expressa , on n i p són els paràmetres de la distribució, en què n és el ( , ) nombre de vegades que es realitza l'experiment i p , la probabilitat d'èxit per a n = 1. 1.1.
Característiques de la distribució binomial El resultat de cada prova pertany a una d'aquestes dues categories: èxit o fracàs. La probabilitat p d'èxit és la mateixa en cada prova. L'experiment dóna lloc a un nombre n de proves, que són independents entre elles. L'esperança és . µ = La variància i la desviació típica són, respectivament, i . σ 2 = σ = 1.2. Funció de probabilitat d'una distribució binomial La funció de probabilitat d'una variable aleatòria discreta X: «nombre d'èxits» que segueix una distribució binomial B(n, p) és: en què k = 0, 1, 2, 3…, n indica el nombre d'èxits. Aquesta funció de probabilitat verifica que: 1.3.
Funció de distribució d'una distribució binomial La funció de distribució d'una variable aleatòria binomial X és: Aquesta funció assigna a cada valor real x la probabilitat que la variable X prengui valors més petits o iguals que x . Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials UD7. Distribucions de probabilitat ACTIVITATS DE PRÀCTICA 1. Tenim una moneda trucada tal que, en llançar-la, obtenim cara en un 25% dels casos. La llancem tres vegades i comptem el nombre de cares obtingudes. a. Comprova que la variable aleatòria X que indica el nombre de cares obtingudes en els tres llançaments és de tipus binomial, i troba'n la funció de probabilitat. b.
Calcula l'esperança, variància i desviació estàndard de X. [R: 0,75 ; 0,5625 ; 0,75] c. Quina és la probabilitat d'obtenir com a màxim una cara? I com a mínim una cara? [R: 0,8438 ; 0,5781] 2. Un examen tipus test consta de deu preguntes. Cada pregunta té quatres respostes possibles, de les quals només una és correcta. Un alumne que no ha estudiat respon a l'atzar les preguntes de l'examen. Calcula el valor esperat de respostes correctes i la probabilitat que l'alumne aprovi l'examen, és a dir, que encerti almenys cinc preguntes. [R: 0,0781] 3. El 3 % de les peces elaborades per una màquina és defectuós. Les peces es venen en caixes de 25 unitats cadascuna.
Quina és la probabilitat que una caixa contingui com a màxim una peça defectuosa? [R: 0,82804] 4. Una determinada malaltia té un índex de mortalitat del 20 %. Si en un hospital hi ha vint persones afectades, calcula la probabilitat que almenys una cinquena part dels pacients sobrevisqui. [R: 1] 5. Dels turistes que van arribar a Espanya el mes passat, el 35% van visitar Catalunya. Si seleccionem a l'atzar i de manera independent 7 turistes que van arribar a Espanya el mes passat. a. Raona, sense fer us de la calculadora: Què és més probable, que 2 d'aquests turistes visitessin Catalunya, o que siguin 5? [R: 2] b.
Calcula la probabilitat de que algun d'aquests 7 turistes hagi visitat Catalunya. [R: 0,951] 6. Una pastisseria empaqueta capses formades per quatre bombons. La probabilitat que un bombó estigui farcit de melmelada és 0,1 i la probabilitat que estigui farcit de praliné, 0,9. a. Quina és la probabilitat que en una capsa de bombons, n'hi hagi algun farcit de melmelada? [R: 0,3439] b. Si una noia compra tres capses amb quatre bombons cadascuna, quina és la probabilitat que en totes hi hagi algun bombó farcit de melmelada? [R: 0,0406] 7. Una màquina fabrica un tipus determinat de circuit integrat. Aquest circuit es comercialitza en lots de cinc unitats, dels quals en comprem sis.
Si sabem que la probabilitat que un circuit tingui algun defecte de fabricació és 0,01, calcula les probabilitats següents: a. Almenys un dels lots conté algun circuit defectuós. [R: 0,2603] b. Tots els lots contenen algun circuit defectuós. [R: 0] c. Tres lots contenen algun circuit defectuós. [R: 0,0021] 8. Una acadèmia d'anglès avalua els seus alumnes amb una prova de quatre tests. Cada test consta de deu preguntes amb quatre respostes possibles. Si responguéssim a l'atzar totes les preguntes de tots els tests, calcula les probabilitats següents: a. Superar l'avaluació, si s'han d'aprovar separadament almenys tres dels quatre tests. [R: 0,0018] b. No superar l'avaluació. [R: 0,9982] c.
Aprovar almenys dos dels tests. [R: 0,0329] 9. Una màquina fabrica envasos plàstics per a medicaments mitjançant injecció d'aire. Se sap que la probabilitat que un envàs presenti algun defecte és 0,05. Si els envasos es comercialitzen en capses de cinc, calcula la probabilitat que en comprar sis capses, exactament dues continguin algun envàs defectuós. [R: 0,2745]