Examen de Física Selectividad Cataluña 2024 · Setembre Serie 3

Els sistemes planetaris tendeixen a formar-se en ressonància. Això vol dir que, quan un planeta completa $n$ òrbites, el planeta veí en completa $m$, en què $n$ i $m$ són nombres enters. El novembre de 2023 la revista Nature publicava el descobriment de sis planetes que orbitaven en ressonància al voltant de l'estrella HD110067.

DADES:

$G$: $6{,}67 \times 10^{-11}\text{ N m}^2\text{kg}^{-2}$

Massa de la Terra ($M_\text{T}$): $5{,}98 \times 10^{24}\text{ kg}$

Massa del Sol ($M_\text{S}$): $1{,}98 \times 10^{30}\text{ kg}$

a)

Suposem que aquesta estrella té la massa del Sol i que els planetes tenen òrbites circulars. El sisè planeta, el més exterior, té un període de $54{,}7\text{ dies}$. Calculeu la distància entre el planeta i l'estrella. Representeu l'estrella i el planeta, dibuixeu el vector d'acceleració normal i calculeu-ne el mòdul. [1,25 punts]

b)

El cinquè planeta completa 4 òrbites en el mateix temps que el sisè planeta en completa 3 (relació 4:3). Calculeu el radi de l'òrbita del cinquè planeta i la seva energia mecànica suposant que la seva massa és $2{,}5\text{ vegades}$ la terrestre. [1,25 punts]

Dos altaveus estan separats entre si una distància $2d$ i emeten un senyal harmònic i en fase. Produïm el so amb un generador de senyals que podem ajustar entre els $200$ i els $400\text{ Hz}$. La persona A està situada a $d_1 = 5{,}00\text{ m}$ de l'altaveu 1 i a $d_2 = 8{,}68\text{ m}$ de l'altaveu 2. Una segona persona B està situada a $d'_1 = 8{,}14\text{ m}$ de l'altaveu 1 i a $d'_2 = 4{,}00\text{ m}$ de l'altaveu 2.

NOTA: Considereu que les ones sonores es propaguen en les tres dimensions de l'espai i que la seva energia es distribueix en superfícies esfèriques.

DADES: $I_0 = 10^{-12}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}$. Velocitat del so en l'aire: $340\text{ m/s}$. Superfície esfèrica: $4\pi r^2$.

a)

Calculeu totes les freqüències que podem escollir en el generador perquè la persona A senti els senyals amb una intensitat màxima. [1,25 punts]

Quina freqüència de les anteriors hem d'escollir perquè la persona A senti el senyal amb intensitat màxima i la persona B no el pugui sentir (és a dir, el senti amb intensitat mínima)?

b)

Ara emetem música pels dos altaveus amb una potència de $2{,}36\times 10^{-3}\text{ W}$ cadascun. Calculeu la intensitat sonora generada per cada altaveu en la posició de la persona A. Determineu el nivell d'intensitat sonora que percep aquesta persona. [1,25 punts]

El Fun-Fly-Stick és un enginyós generador d'electricitat estàtica que funciona amb piles i que permet fer levitar objectes metàl·lics lleugers. Quan es prem el botó es genera una càrrega estàtica negativa a la vareta. Tocant l'objecte amb la vareta, part d'aquesta càrrega es transfereix a l'objecte de manera que tots dos queden carregats i l'objecte levita per sobre la vareta. (En fer els càlculs, considereu la vareta i l'objecte metàl·lic com si fossin càrregues puntuals.)

Dades:

Gravetat a la superfície de la Terra, $g = 9,8\text{ m/s}^2$.

$|e| = 1,602 \times 10^{-19}\text{ C}$.

$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8,99 \times 10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2\text{C}^{-2}$.

a)

Suposem que, després de tocar l'objecte, la vareta i l'objecte tenen la mateixa càrrega. Feu un dibuix de la situació de la vareta i l'objecte metàl·lic levitant i dibuixeu les forces sobre l'objecte. Calculeu quina és la càrrega electroestàtica de l'objecte metàl·lic si aquest té una massa de $10\text{ g}$ i es troba a una distància de $55\text{ cm}$ de la vareta. [1,25 punts]

b)

Considereu ara una altra situació, en què tant la vareta com l'objecte metàl·lic estan carregats amb una càrrega $q = -2\ \mu\text{C}$ i separats a una distància de $60\text{ cm}$. Calculeu el mòdul del camp elèctric al punt central de la línia que els uneix i el potencial elèctric en aquest punt. Determineu quin és el treball que haurà de fer una força externa per a portar un electró des de l'infinit fins a aquest punt central. [1,25 punts]

P4) L'experiment d'Oersted fet el 1820 (figura 1) consisteix en un fil conductor paral·lel a la component horitzontal del camp magnètic terrestre per on passa un corrent elèctric i una agulla magnètica just a sobre o a sota del fil. Oersted observà que l'orientació de l'agulla canviava si el fil connectat estava situat a sobre o a sota de l'agulla.

En la figura 2 no sabem si el fil conductor està situat per sobre o per sota de la brúixola.

a)

Representeu sobre l'agulla de la brúixola del dibuix b de la figura 2 els vectors del camp magnètic terrestre ($B_{\text{Terra}}$) i del camp magnètic generat pel fil ($B_{\text{fil}}$). Argumenteu si la brúixola del dibuix b de la figura 2 està situada a sobre o a sota del fil conductor en aquest cas. [1,25 punts]

A sobre

A sota

b)

En aquest muntatge experimental, la separació entre la brúixola i el fil és de $10\text{ cm}$. Observem que l'agulla de la brúixola forma un angle de $45^\circ$ amb la direcció del corrent elèctric quan circulen $20\text{ A}$ pel fil conductor. Calculeu la component horitzontal del camp magnètic terrestre ($B_{\text{Terra}}$). [1,25 punts]

DADES:

El mòdul del camp magnètic creat per un fil infinit per on circula un corrent $I$ a una distància $r$ del fil és $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$.

$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ T}\cdot\text{m}\cdot\text{A}^{-1}$.

P5) Un ull hipermetrop no és capaç d'enfocar objectes propers a la retina, sinó que els enfoca darrere d'aquesta, i per això els veu borrosos. L'Anna no és capaç d'enfocar bé els objectes que són més a prop de $70\text{ cm}$ i necessita unes ulleres amb lents convergents per a llegir.

a)

L'Anna normalment situa el llibre a $35\text{ cm}$ i la imatge creada per la lent ha de ser a $70\text{ cm}$ perquè la pugui enfocar correctament. Calculeu la distància focal de la lent correctora i la seva potència. [1,25 punts]

b)

Calculeu on es formarà la imatge d'un objecte de $10\text{ cm}$ d'alçària situat a $25\text{ cm}$ davant d'una lent convergent de $20\text{ cm}$ de distància focal. Calculeu, també, la mida de la imatge i esmenteu les seves característiques (més gran o més petita, real o virtual, dreta o invertida). Dibuixeu a la quadrícula de sota el diagrama de raigs amb la lent, l'objecte i la imatge. [1,25 punts]

Al jaciment neolític de la Draga (Banyoles) s’utilitza el mètode del carboni 14 ($^{14}\text{C}$) per a la datació de restes. El $^{14}\text{C}$ és un isòtop radioactiu que es produeix a l’atmosfera de manera continuada quan neutrons provinents dels raigs còsmics xoquen amb els nuclis de nitrogen ($^{14}\text{N}$). Els éssers vius l’incorporem a l’organisme mentre interactuem amb l’atmosfera, però, a partir del moment de la mort, el $^{14}\text{C}$ comença a desintegrar-se novament en $^{14}\text{N}$, amb un període de semidesintegració de $5\,730\text{ anys}$. La datació d’una mostra d’os d’animal del sector D de la Draga és de $6\,010\text{ anys}$.

DADES:

El nombre atòmic del carboni és

$Z = 6$.

El nombre atòmic del nitrogen és

$Z = 7$.

a)

Escriviu la reacció nuclear que correspon al decaïment del $^{14}\text{C}$ a $^{14}\text{N}$, incloent-hi els antineutrins. Justifiqueu de quin tipus de reacció nuclear es tracta. A partir de l’equació de la desintegració, determineu la relació entre la constant de desintegració $\lambda$ i el període de semidesintegració.

[1,25 punts]

b)

Calculeu la constant de desintegració $\lambda$ del $^{14}\text{C}$. Determineu quin percentatge de $^{14}\text{C}$ encara roman a la mostra d’os del sector D respecte al $^{14}\text{C}$ que hi havia quan l’organisme estava viu. Calculeu l’activitat de l’os en el moment de morir l’animal si actualment l’activitat de l’os és de $3,63\text{ Bq}$.

[1,25 punts]

%

P7) Una massa de $100\text{ g}$ es fa oscil·lar penjada d'una molla. S'observa que fa $40$ oscil·lacions en un minut i que la diferència entre la posició més alta i la més baixa és de $15\text{ cm}$.

a)

Determineu el període, la constant de la molla i l'equació del moviment si comencem a comptar el moviment quan passa per la posició més baixa. Representeu a la quadrícula de sota la força elàstica durant dos períodes sencers.

[1,25 punts]

Representació gràfica de la força elàstica durant dos períodes sencers:

b)

Calculeu l'energia mecànica de l'oscil·lador harmònic i trobeu l'expressió de l'energia cinètica en funció de la posició de la massa. Calculeu el mòdul de la velocitat quan la massa és $3\text{ cm}$ per sobre de la posició d'equilibri.

[1,25 punts]