Examen de Física Selectividad Cataluña 2024 · Juny Serie 1

P1) BepiColombo és una missió espacial que té per objectiu l'exploració de Mercuri. La missió va ser llançada l'any 2018, i hi arribarà el 2025. Un cop allà, posarà en òrbita dos satèl·lits al voltant del planeta. Un dels satèl·lits és el Mercury Planetary Orbiter (MPO), construït per l'Agència Espacial Europea, que orbitarà al voltant de Mercuri amb un radi orbital mitjà de $3\,360\text{ km}$.

a)

Considereu un satèl·lit que fa una òrbita circular al voltant de Mercuri. Deduïu l'expressió de la velocitat orbital del satèl·lit en funció del radi orbital i la massa de Mercuri (indiqueu clarament en quins principis o lleis físiques us baseu per fer la vostra deducció). Amb aquesta expressió, calculeu la velocitat orbital del satèl·lit MPO mentre orbita al voltant de Mercuri. Calculeu quantes voltes haurà fet al planeta al cap d'un any terrestre. [1,25 punts]

voltes

b)

A partir de l'expressió general de l'energia mecànica, obtingueu la seva equació per al cas particular d'un satèl·lit en òrbita circular (cal que l'equació final només estigui expressada en funció de $G$, el radi orbital i les masses del satèl·lit i del planeta). Una vegada el satèl·lit MPO estigui orbitant al voltant de Mercuri, encara tindrà combustible per a poder fer maniobres. Considereu que el combustible disponible pot proporcionar una energia de $4,5 \times 10^9\text{ J}$. Determineu el valor màxim que podria tenir la massa del MPO per tal que amb l'energia disponible pogués escapar del camp gravitatori de Mercuri. [1,25 punts]

DADES:

$G = 6,67 \times 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

Massa de Mercuri, $M_M = 3,285 \times 10^{23}\text{ kg}$.

Any terrestre = $365,25\text{ dies}$.

Al laboratori dissenyem un experiment amb dues masses que fan moviments independents. La primera massa és de $0{,}5\text{ kg}$ i penja d'una molla vertical. La segona massa es troba subjectada a un disc vertical que gira a una velocitat angular de $6{,}41\text{ rad/s}$ i el centre d'aquesta massa és a una distància de $19\text{ cm}$ del centre del disc. Ambdues masses s'il·luminen lateralment i s'observa que les seves ombres segueixen exactament el mateix moviment harmònic simple. Per a aconseguir-ho, deixem anar des de baix la massa de la molla just a $t = 0\text{ s}$, moment en què la massa del disc també passa pel punt més baix de la rotació.

a)

Escriviu l'equació de la posició vertical de les ombres respecte al temps. Trobeu la constant elàstica de la molla i l'energia mecànica del moviment harmònic simple.

[1,25 punts]

b)

Calculeu l'equació de la velocitat i l'energia cinètica respecte al temps de la massa que penja de la molla. Representeu en la quadrícula adjunta l'energia mecànica, l'energia potencial i l'energia cinètica en funció de la posició vertical per a la massa que penja de la molla.

[1,25 punts]

La superfície de la Terra és principalment aigua que conté ions en dissolució i que li fan adquirir una càrrega neta negativa. Es pot considerar que la Terra té un camp elèctric en punts propers a la seva superfície amb un mòdul constant de $150\text{ N/C}$.

DADES:

Radi de la Terra, $R_\text{T} = 6,37 \times 10^6\text{ m}$.

Densitat de l'aigua, $\rho = 10^3\text{ kg/m}^3$.

Massa de l'electró, $M_\text{e} = 9,11 \times 10^{-31}\text{ kg}$.

Superfície esfèrica: $4\pi r^2$.

Volum d'una esfera: $4/3\pi r^3$.

$|e| = 1,602 \times 10^{-19}\text{ C}$.

$k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8,99 \times 10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.

$g = 9,81\text{ m/s}^2$.

a)

Dibuixeu l'esfera terrestre i representeu-hi el camp elèctric al voltant de la superfície.

Calculeu el valor de la càrrega total que produeix aquest camp elèctric. Per fer-ho, considereu que el camp elèctric creat per una superfície esfèrica carregada uniformement és igual al generat per tota la càrrega situada al centre de l'esfera. [1,25 punts]

b)

Calculeu el mòdul de la força elèctrica que produirà el camp elèctric sobre un electró lliure situat a la vora de la superfície de la Terra.

Calculeu la massa que ha de tenir una gota esfèrica d'aigua amb una càrrega extra d'un sol electró perquè el seu pes es compensi amb la força elèctrica.

Feu un esquema en què es mostrin les forces que actuen sobre la gota.

Calculeu el diàmetre d'aquesta gota d'aigua. [1,25 punts]

P4) Un parallamps és una barra metàl·lica vertical que atrau i dirigeix grans descàrregues de corrent cap a terra. La gran majoria de llamps núvol-terra són negatius, és a dir, són transferències de càrrega negativa del núvol cap a terra. En el moment de la descàrrega es crea un camp magnètic al voltant del parallamps que podem equiparar al creat per un fil de corrent infinit. El corrent màxim que pot assumir un parallamps és d'uns $100\text{ kA}$.

DADES:

El mòdul del camp magnètic creat per un fil infinit per on circula un corrent $I$ a una distància $r$ del fil és $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$.

$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ T m A}^{-1}$.

$|e| = 1{,}602 \times 10^{-19}\text{ C}$.

a)

Calculeu el camp magnètic màxim que pot crear el parallamps a una distància de $10\text{ cm}$. Feu un dibuix esquemàtic del parallamps indicant el sentit del moviment dels electrons, la intensitat de corrent i tres línies de camp magnètic. Justifiqueu el sentit de les línies de camp. [1,25 punts]

b)

Representeu gràficament, en la quadrícula de sota, el mòdul d'aquest camp magnètic màxim en funció de la distància $r$ al parallamps en l'interval següent: $10\text{ cm} \le r \le 50\text{ cm}$. Suposem que hi ha un electró que en el moment de la descàrrega es troba a $10\text{ cm}$ del parallamps i que té una velocitat de $10^3\text{ m/s}$ paral·lela al parallamps i cap a terra. Calculeu el mòdul de la força que crea el camp magnètic sobre l'electró i justifiqueu-ne la direcció i el sentit. [1,25 punts]

L'Ainhoa està intrigada per saber a quina altura exploten els coets llançats a la revetlla de Sant Joan. Per a poder-ho determinar se situa a una distància de $50\text{ metres}$ del punt on es llancen els coets i enregistra, amb un sonòmetre, un nivell d'intensitat sonora de $100\text{ decibels}$ en l'explosió d'un coet que no s'ha enlairat.

a)

Quina potència sonora emet el coet en el moment de l'explosió? Si l'explosió ha durat $0{,}03\text{ s}$, quina energia sonora s'ha alliberat? [1,25 punts]

b)

Des de la mateixa distància al punt de llançament, enregistra $90\text{ decibels}$ d'intensitat sonora en el cas d'un coet igual a l'anterior que s'ha enlairat verticalment i ha explotat a certa altura. Calculeu a quina altura ha explotat el coet. Si dos coets idèntics a l'anterior exploten simultàniament a la mateixa altura que abans, quin nivell d'intensitat sonora percebrà l'Ainhoa, si està situada a la mateixa posició d'abans? [1,25 punts]

Nota i dades

NOTA: Considereu que les ones sonores es propaguen en les tres dimensions de l'espai i la seva energia es distribueix en superfícies esfèriques.

DADES: $I_0 = 10^{-12}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}$. La velocitat del so en l'aire és de $340\text{ m/s}$. Superfície esfèrica: $4\pi r^2$.

El poloni ($Z = 84$) fou descobert el 1898 per Marie Sklodowska-Curie i Pierre Curie. L’isòtop de poloni amb un temps de semidesintegració més llarg és el Po-210, que el té de 138 dies. Es desintegra per emissió d’una partícula alfa i origina un isòtop estable de plom (Pb).

a)

Escriviu la desintegració del Po-210. Si l'activitat inicial per unitat de massa del Po-210 és d'$1{,}66 \times 10^{14}\text{ Bq/g}$, quina serà l'activitat de $5\text{ mg}$ d'aquest element al cap d'una setmana?

[1,25 punts]

El poloni ($Z = 84$) fou descobert el 1898 per Marie Sklodowska-Curie i Pierre Curie. L’isòtop de poloni amb un temps de semidesintegració més llarg és el Po-210, que el té de 138 dies. Es desintegra per emissió d’una partícula alfa i origina un isòtop estable de plom (Pb).

b)

Els nuclis d'heli que es produeixen en les desintegracions alfa no triguen a captar dos electrons. Suposem que es forma un àtom d'heli en dos passos ben diferenciats. Primerament, es transporta des d'una distància molt gran un primer electró a $0{,}6 \times 10^{-10}\text{ m}$ de la partícula alfa i es manté allà. Posteriorment, un segon electró es porta a l'altra banda de la partícula alfa a $0{,}6 \times 10^{-10}\text{ m}$. La configuració final es mostra en la figura.

Calculeu el treball realitzat pel camp elèctric en cada un dels dos passos. Quina és l'energia potencial electroestàtica de la configuració final?

[1,25 punts]

Dades:

$|e| = 1{,}602 \times 10^{-19}\text{ C}$

$k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 8{,}99 \times 10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2\text{C}^{-2}$

P7) Observem que en una mostra metàl·lica apareix l'efecte fotoelèctric quan la il·luminem amb llum monocromàtica de longituds d'ona més petites o iguals a $650\text{ nm}$.

DADES:

$c =$ $3{,}00 \times 10^8\text{ m s}^{-1}$

$|e| =$ $1{,}602 \times 10^{-19}\text{ C}$

$m_e =$ $9{,}11 \times 10^{-31}\text{ kg}$

$h =$ $6{,}626 \times 10^{-34}\text{ J s}$

a)

Calculeu el treball d'extracció del metall. Determineu el potencial de frenada si il·luminem el metall amb llum de $300\text{ nm}$. [1,25 punts]

b)

Trobeu l'expressió de la velocitat dels electrons en funció de la longitud d'ona incident per a aquest metall. Calculeu la velocitat dels electrons per a una longitud d'ona incident de $500\text{ nm}$ i la longitud d'ona de De Broglie associada a aquests electrons. [1,25 punts]