Ejercicio P1 · Física Selectividad Cataluña Setembre Serie 3 2024

Els sistemes planetaris tendeixen a formar-se en ressonància. Això vol dir que, quan un planeta completa $n$ òrbites, el planeta veí en completa $m$, en què $n$ i $m$ són nombres enters. El novembre de 2023 la revista Nature publicava el descobriment de sis planetes que orbitaven en ressonància al voltant de l'estrella HD110067.

DADES:

$G$: $6{,}67 \times 10^{-11}\text{ N m}^2\text{kg}^{-2}$

Massa de la Terra ($M_\text{T}$): $5{,}98 \times 10^{24}\text{ kg}$

Massa del Sol ($M_\text{S}$): $1{,}98 \times 10^{30}\text{ kg}$

a)

Suposem que aquesta estrella té la massa del Sol i que els planetes tenen òrbites circulars. El sisè planeta, el més exterior, té un període de $54{,}7\text{ dies}$. Calculeu la distància entre el planeta i l'estrella. Representeu l'estrella i el planeta, dibuixeu el vector d'acceleració normal i calculeu-ne el mòdul. [1,25 punts]

b)

El cinquè planeta completa 4 òrbites en el mateix temps que el sisè planeta en completa 3 (relació 4:3). Calculeu el radi de l'òrbita del cinquè planeta i la seva energia mecànica suposant que la seva massa és $2{,}5\text{ vegades}$ la terrestre. [1,25 punts]