Ejercicio A.2 - Funciones a trozos · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU País Vasco Ordinaria 2021

Tema: Funciones definidas a trozos: continuidad y representación gráfica · Del examen Ordinaria (2021)

Enunciado

Sea la función:

f(x)={x3+3x2si x<1ax+2xsi x≥1f(x) = \begin{cases} x^3 + 3x^2 & \text{si } x < 1 \\ ax + \dfrac{2}{x} & \text{si } x \ge 1 \end{cases}

a)

[0,5 puntos] Determina el valor del parámetro aa para que la función f(x)f(x) sea continua en el punto x=1x = 1.

c)

[1 punto] En el caso a=2a = 2, realiza la representación gráfica de la función; para ello, calcula los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión cuando x<1x < 1.

Enunciado: Ejercicio A.2 - Funciones a trozos · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU País Vasco Ordinaria 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Determina el valor del parámetro a para que la función f(x) sea continua en el punto x = 1.

Solución: 2

c) Máximo relativo cuando x < 1 (coordenadas (x, y))

Solución: (-2, 4)

c) Mínimo relativo cuando x < 1 (coordenadas (x, y))

Solución: (0, 0)

c) Punto de inflexión cuando x < 1 (coordenadas (x, y))

Solución: (-1, 2)

c) Representación gráfica de la función en el caso a = 2

Solución: La gráfica consta del polinomio de tercer grado en (−∞,1)(-\infty, 1) con máximo en (−2,4)(-2, 4), punto de inflexión en (−1,2)(-1, 2) y mínimo en (0,0)(0, 0); y la rama racional 2x+2x2x + \frac{2}{x} para x≥1x \ge 1, que pasa por (1,4)(1, 4), (2,5)(2, 5) y (4,17/2)(4, 17/2).

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