Pregunta A2 · Dibujo técnico II PAU Castilla y León Extraordinaria 2025

Determinar los elementos principales de la hipérbola, el punto P, su tangente y sus asíntotas.

Solución: 1. Vértices y focos: - Sobre la recta $r$, a partir de $O$, se lleva $a = 30\text{ mm}$ a ambos lados para situar los vértices $A$ (izquierda) y $B$ (derecha). - Se lleva también $c = 50\text{ mm}$ a ambos lados para situar los focos $F_1$ (izquierda) y $F_2$ (derecha). 2. Eje imaginario y circunferencia principal: - La circunferencia principal tiene centro en $O$ y radio $a = 30\text{ mm}$. - Por $B$ se levanta una perpendicular al eje real hasta cortar la circunferencia de centro $O$ y radio $c = 50\text{ mm}$. El cateto resultante mide $b = \sqrt{c^2 - a^2} = 40\text{ mm}$. - Por $O$ se traza la perpendicular al eje real y se lleva $b = 40\text{ mm}$ hacia arriba y hacia abajo para situar los extremos $C$ y $D$ del eje imaginario. 3. Punto P a partir del punto 1: - El punto $1$ está sobre el eje real, a la derecha de $F_2$. - Con centro en el foco izquierdo $F_1$ se traza un arco de radio $\overline{A1}$. - Con centro en el foco derecho $F_2$ se traza un arco de radio $\overline{B1}$. - La intersección de ambos arcos por encima de $r$ es el punto $P$ de la rama derecha, ya que $\overline{PF_1} - \overline{PF_2} = \overline{A1} - \overline{B1} = \overline{AB} = 2a$. 4. Tangente $t$ en el punto $P$: - Se trazan los radios vectores $\overline{PF_1}$ y $\overline{PF_2}$. - La tangente $t$ es la bisectriz interior del ángulo $\widehat{F_1 P F_2}$. 5. Asíntotas: - Se construye el rectángulo $2a \times 2b$ centrado en $O$. - Las asíntotas son las rectas que contienen sus diagonales; pasan por $O$ y tienen pendientes $\pm \frac{b}{a}$.