Pregunta A1 · Dibujo técnico II PAU Castilla y León Extraordinaria 2023

De la parábola definida por su vértice V y su foco F, determinar, sin dibujar la parábola: 1. Los puntos de la parábola que distan 65 mm de la directriz y las tangentes en esos puntos. 2. La intersección de la parábola con una recta r, que pasa por su foco F y es perpendicular a su eje.

Solución: Construcción gráfica: 1. Elementos básicos: - Eje de la parábola: recta que une $V$ y $F$. - Directriz $d$: perpendicular al eje trazada por el punto simétrico de $F$ respecto a $V$ (a distancia $d(V, F)$ de $V$ hacia el lado opuesto a $F$). 2. Apartado 1 (Puntos a 65 mm y sus tangentes): - Trazar una recta paralela a la directriz a una distancia de $65\text{ mm}$ (en el semiplano que contiene a $F$). - Con centro en el foco $F$ y radio $R = 65\text{ mm}$, trazar un arco que corte a dicha paralela en los puntos buscados $P_1$ y $P_2$. - Para las tangentes en $P_1$ y $P_2$: determinar las proyecciones ortogonales $M_1$ y $M_2$ de estos puntos sobre la directriz. Las tangentes son las mediatrices de los segmentos $FM_1$ y $FM_2$ (o las bisectrices de los ángulos $\widehat{F P_1 M_1}$ y $\widehat{F P_2 M_2}$). 3. Apartado 2 (Intersección con la recta r perpendicular por F): - Trazar la recta $r$ perpendicular al eje que pasa por $F$. - La distancia de la recta $r$ a la directriz es el parámetro $p = 2\cdot d(V, F)$. - Por la propiedad focal, los puntos de intersección $Q_1$ y $Q_2$ distan de $F$ exactamente $p = 2\cdot d(V, F)$. Con centro en $F$ y radio $p$, trazar un arco que corte a la recta $r$ en dos puntos simétricos $Q_1$ y $Q_2$ (*latus rectum*).