Pregunta A1 · Dibujo técnico II PAU Castilla y León Ordinaria 2022

En una hipérbola se conocen los vértices A y B del eje real y un punto P de una de las asíntotas. Se pide trazar las asíntotas y obtener los focos F y F'. Dado el punto Q de la cónica, trazar la tangente a la misma en dicho punto.

Solución: Construcción geométrica: 1. Centro $O$ y eje real: Se dibuja la recta que une los vértices $A$ y $B$ (eje real o focal). Mediante mediatriz del segmento $AB$ se obtiene el centro de la hipérbola $O$. 2. Trazado de las asíntotas: - La primera asíntota $r_1$ es la recta que pasa por el centro $O$ y por el punto dado $P$. - La segunda asíntota $r_2$ es la recta simétrica a $r_1$ respecto al eje real $AB$. 3. Determinación de los focos $F$ y $F'$: - Por uno de los vértices (por ejemplo, $B$), se traza una perpendicular al eje real que corta a una de las asíntotas en el punto $T$. La longitud del segmento $BT$ equivale al semieje imaginario $b$, de modo que $OT = \sqrt{a^2 + b^2} = c$. - Con centro en $O$ y radio $OT$, se traza una circunferencia (circunferencia principal focal) que corta a la recta del eje real en los dos focos $F$ y $F'$. 4. Tangente en el punto $Q$: - Se trazan los radios vectores que unen $Q$ con ambos focos: segmentos $QF$ y $QF'$. - La recta tangente $t$ a la hipérbola en $Q$ es la bisectriz del ángulo $\widehat{FQF'}$.