Pregunta 5. Opción B · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Asturias Ordinaria 2025

Pregunta 5. Opción B. Para estimar el porcentaje de visitantes que realiza alguna compra en la tienda de un parque de atracciones se tomaron dos muestras del mismo tamaño n. En la primera muestra se obtuvo una proporción muestral (de visitantes que compran en la tienda) de 0.7 y, a partir de ella, se construyeron dos intervalos de confianza para la proporción poblacional de visitantes que realizan alguna compra en la tienda, uno al 90 % y otro al 95 %. En la segunda muestra se obtuvo un tercer intervalo al 95 % de confianza. Los tres intervalos obtenidos (no necesariamente por este orden) fueron: (0.6102, 0.7898), (0.5565, 0.7435) y (0.6248, 0.7752).

Datos

Valores de la función de distribución F de la normal de media 0 y desviación típica 1: F(1.28) = 0.90, F(1.64) = 0.95, F(1.96) = 0.975, F(2.33) = 0.99 y F(2.58) = 0.995.

Intervalo de confianza, al nivel (1 − α)100 %, para la proporción poblacional, a partir de una muestra de tamaño n suficientemente grande (habitualmente se considera n ≥ 100):

$$\left(\hat p - z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p + z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)$$

En la expresión, $F(z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$.

a)

Razona qué dos intervalos de estos tres corresponden a la primera muestra. ¿Cuál de esos dos es el correspondiente al 90 % de confianza? (1.5 puntos)

b)

Respecto a la segunda muestra, teniendo en cuenta el intervalo obtenido, ¿cuál fue el tamaño muestral n? ¿Cuál fue el número de visitantes en esa muestra que realizó alguna compra en la tienda? (1 punto)