Pregunta 5. Opción B · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Asturias Extraordinaria 2025

Pregunta 5. Opción B. Un banco quiere estimar la proporción de clientes que realizan todas sus gestiones por internet.

a)

Determine el tamaño muestral mínimo necesario para estimar la verdadera proporción de clientes que realizan todas sus gestiones por internet a partir de la proporción muestral con un error de estimación máximo de 0.05 y un nivel de confianza del 99 %. (1 punto)

b)

A partir de una muestra aleatoria de 600 clientes se construyó un intervalo de confianza al nivel de confianza del 95 % para estimar la proporción de clientes que realizan todas sus gestiones por internet. El intervalo resultante fue (0.395, 0.475). ¿Cuántos clientes, de los 600 de la muestra, realizaron todas sus gestiones por internet? (1 punto)

c)

Según el intervalo de confianza del apartado anterior, ¿tiene sentido pensar que la verdadera proporción de clientes en la población que realizan todas sus gestiones por internet sea 0.5? Responde intentando medir o estimar de alguna forma cuánto te fías de tu razonamiento. (0.5 puntos)

Algunos valores de la función de distribución F de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: F(1.28) = 0.90, F(1.64) = 0.95, F(1.96) = 0.975, F(2.33) = 0.99 y F(2.58) = 0.995.

Expresión del intervalo de confianza, al nivel de confianza (1−α)100 %, para la proporción poblacional, a partir de una muestra de tamaño n suficientemente grande (habitualmente se considera n ≥ 100):

$$\left(\hat p - z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p + z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)$$ En ambas expresiones, F(z_{α/2}) = 1 − α/2.