Ejercicio 3.b-d · Álgebra UOC Examen Final de Álgebra

Tema: Coordenadas, cambio de base y ortogonalidad · Del examen Examen Final de Álgebra

Enunciado

Ejercicio 3. Subespacios vectoriales y cambio de base

Dados los vectores de R3\mathbb{R}^3:

v1=(1,0,−2),v2=(0,1,−1),v3=(2,−2,−2),v4=(−1,2,0),v5=(4,2,−10)v_1 = (1, 0, -2), \quad v_2 = (0, 1, -1), \quad v_3 = (2, -2, -2), \quad v_4 = (-1, 2, 0), \quad v_5 = (4, 2, -10)

y el subespacio generado E=⟨v1,v2,v3,v4,v5⟩E = \langle v_1, v_2, v_3, v_4, v_5 \rangle. Sea asimismo w=(a+2,−2,−2a−2)w = (a + 2, -2, -2a - 2).

Determine la veracidad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones, justificando la respuesta:

b.

El conjunto A={(2,−2,−2),(−1,2,0)}A = \{(2,-2,-2), (-1,2,0)\} es una base de EE y las coordenadas de ww respecto a dicha base son (a+1,a+2)(a+1, a+2).

c.

Si e1=v3+v4e_1 = v_3 + v_4 y e2=v3+5v4e_2 = v_3 + 5v_4, el conjunto B={e1,e2}B = \{e_1, e_2\} conforma una base de EE.

d.

La matriz de cambio de base de AA a BB viene dada por:CA→B=14(5−1−11)C_{A\to B} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

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Solución

Según los criterios oficiales de corrección

b. Veracidad o falsedad: El conjunto A = {(2,-2,-2), (-1,2,0)} es una base de E y las coordenadas de w respecto a dicha base son (a + 1, a + 2).

Solución: Falso / Falsa

b. Justificación

Solución: Como v3 y v4 pertenecen a E y son linealmente independientes, forman base de E. Sin embargo, (a+1)v3 + (a+2)v4 = (a, 2, -2a-2), cuyas componentes no coinciden con w = (a+2, -2, -2a-2).

c. Veracidad o falsedad: Si e1 = v3 + v4 y e2 = v3 + 5v4, el conjunto B = {e1, e2} conforma una base de E.

Solución: Verdadero / Verdadera

c. Justificación

Solución: Los vectores e1 y e2 pertenecen a E. La matriz de coordenadas respecto a la base A tiene determinante 4 ≠ 0, por lo que son linealmente independientes y forman base de E.

d. Veracidad o falsedad: La matriz de cambio de base de A a B viene dada por: C_{A->B} = 1/4 * ((5, -1), (-1, 1))

Solución: Verdadero / Verdadera

d. Justificación

Solución: La matriz C_{B->A} tiene por columnas las coordenadas de e1 y e2 en la base A. Al invertirla obtenemos C_{A->B} = (C_{B->A})^{-1} = 1/4 * ((5, -1), (-1, 1)).

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